物理

常微分算符5 第四阶段

n阶：现在我们要把$(D+R_1)(D+R_2)\cdots(D+R_n)$写成$D^n+P_1D^{n-1}+\cdots+P_n$的形式。我们这样想：每一个括号内都有可能取D或者R，最终的结果是对所有可能的情况求和。那么$DR=RD+R'$按照这种方式就可以理解成：D有可能作用在R后面的函数上，也有可能作用在R上。现在我们来求$D^{n-k}$前面的系数，即$P_k$. 先提几点：

1. $\sum$是连加符号，下面写求和参数的初始值，上面写终值。如：$\sum\limits_{i=1}^nia_i=a_1+2a_2+\cdots+na_n$. 规定$\sum\limits_{i=1}^0(\text{anything})=0$, 以避免讨论一些平凡的特殊情况。

2. $\prod$是连乘符号。规定$\prod\limits_{i=1}^0(\text{anything})=1$, 以避免讨论一些平凡的特殊情况。

3. $Q_i^{(j)}$表示$Q_i$的j阶导数。

4. 克罗内克符号$\delta_{a,b}=\begin{cases}1,a=b\\0,a\neq b\end{cases}$.