物理

常微分算符5 第二阶段

一般求解非常系数线性微分方程的方法是常数变易法，相信大家都已经掌握我不再多说，这里介绍另外一种方法，即从常微分算符的角度考虑。

利用常微分算符$D=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$写为$(D^2+PD+Q)y=f(x)$, 下一步就应该把$D^2+PD+Q$写为$(D+h(x))(D+g(x))$了。注意，到非常系数的世界之后，一定要注意算符的顺序，这里是没有交换律的。我们有$$(D+h)(D+g)=D^2+hD+Dg+gh$$

这里Dg是一个算符，它表示先把g乘到后面的函数上，再整体求导，即D(gy). 那么运用积函数的求导法则就能得到$$Dg=gD+g'$$

gD算符表示先求导，再乘上g；g'也是一个算符，它表示乘上g的导函数。这就是$(gy)'=gy'+g'y$. 代入上面的式子就能得到$$D^2+PD+Q=(D+h)(D+g)=D^2+(h+g)D+hg+g'$$

对比系数得到$$\begin{cases}g+h=P\\g'+hg=Q\end{cases}$$

从第一个式子解出h代入第二个式子，得到$$g'+Pg-g^2=Q$$

这就是分解方式满足的微分方程。从二阶降为一阶，代价是从线性变为了非线性。啊？这个方程不是更难解了吗？简直本末倒置！不过，对于一些特殊的情形，它确实是更简单的，能够帮我们快速因式分解常微分算符多项式，解决问题。逻辑应该是这样的：如果你在考试中遇到了一个方程，这个方程能在考试中被出出来意味着她一定是可以解的，并且答案不会太复杂，也就是说稍微猜一猜分解方式总能猜出来。

例10：$D^2y=0$. 

这是个二阶线性齐次常系数常微分方程。这里P(x)=Q(x)=f(x)=0. 我们试图分解它，分解方式g满足$g'-g^2=0$。本来这里取g=0，也就是根本不分解，直接移项积分就能得到答案$y=Ax+B$. 但是，进入到非常系数的世界后，我们就能发现一种神奇的、新型的、莫名其妙的、没事找事的分解方法：当$g\neq 0$时，对g满足的微分方程分离变量、积分，得出$g=-\frac{1}{x}+C$. 我们姑且取C=0, 当然C≠0的情况也是类似的。那么原方程就可以化为

$$\left(D+\dfrac{1}{x}\right)\left(D-\dfrac{1}{x}\right)y=0$$

下一步是移项。注意这里的顺序！这就要回到算符的本质。我们一直在说算符，请问，算符究竟是什么？

算符是一个映射，她把一个函数映成另一个函数。$A:f\mapsto A(f)$, 这里A是一个算符，f是一个函数。一般来说，我们会省略括号，直接记为$A:f\mapsto Af$. 从这里我们可以发现，算符的形式是无所谓的，她可以是A，也可以是D、sin、ln，或者其它任何形式。那么，算符$(D-\lambda)$是什么意思呢？这里定义了算符的加减法。定义算符$A+B$为：对所有$f$都有$(A+B)f=Af+Bf$. 那么我们把$Dy-\lambda y$写成$(D-\lambda)y$，也就完全可以理解了，这里我们把$\lambda$看成一个映射：$\lambda: f\mapsto\lambda f$, 当然这里就不是省略括号了，而是真的把$\lambda$乘到了$f$上。类似地定义了算符的乘法，就是先作用一个算符再作用另一个算符，即。对所有$f$都有$(AB)f=A(Bf)$. 当然，$AB$未必等于$BA$这一及其明显自然的结论已经不用我说了吧！你先进行某种操作肯定有可能会影响后面的操作呀！好了，那么，我们一直在写的，算符$\dfrac{1}{D-\lambda}$，又是什么意思？这里就要涉及到逆算符的概念。定义B为A的逆算符，当且仅当$AB=BA=1$, 记作$B=A^{-1}$. 我们定义的算符乘法的结果是算符，也就是说这里的1其实是算符，叫做单位算符，她把每个函数都映到函数本身：$1:f\mapsto f$. 那么积分算符写成$1/D$也就可以理解了吧，因为先积分再求导还是会得到原来的函数。好吧，严格说来，积分算符并不是微分算符的逆，因为你先求导再积分会丢失掉原来的常数。不过这也是没办法啊，一个算符存在逆算符的充分必要条件是它是一个单射，微分算符显然就不是单射，差一个常数的函数求导之后结果相同。但是我自始至终都从来没说过积分算符是微分算符的逆算符吧？我只是在这样表示而已，稍微注意一下这里常数的问题之后就并不影响我们使用。那么，所谓「移项」的本质就是两边同时作用逆算符，然后利用逆算符的定义将其消去。由于算符没有交换律，所以一定要先移最外层的算符。

$$\dfrac{1}{D+\frac{1}{x}}(D+\frac{1}{x})(D-\frac{1}{x})y=\dfrac{1}{D+\frac{1}{x}}0$$

$$(D-\frac{1}{x})y=\dfrac{1}{D+\frac{1}{x}}0$$

$$\dfrac{1}{D-\frac{1}{x}}(D-\frac{1}{x})y=\dfrac{1}{D-\frac{1}{x}}\dfrac{1}{D+\frac{1}{x}}0$$

$$y=\dfrac{1}{D-\frac{1}{x}}\dfrac{1}{D+\frac{1}{x}}0$$

移项到此为止。下面开始利用公式，并注意$\int\dfrac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln x$, 则$e^{\int\frac{1}{x}\mathrm{d}x}=x$. 

$y=\dfrac{1}{D-\frac{1}{x}}\dfrac{1}{x}\int x\cdot 0\mathrm{d}x=x\int\frac{1}{x}\cdot\frac{C}{x}\mathrm{d}x=x\left(\dfrac{B}{x}+A\right)=Ax+B$. 

和前面得到的结果一样！还真行啊！用一个简单的例子带你过了一遍大致的步骤，稍微推广一下复杂一点的不也就迎刃而解了吗？

练14：$y''+\dfrac{3y'}{x}+\dfrac{y}{x^2}=\dfrac{\ln x}{x^2}$. 

练15：$y''+\cot xy'+2y=2(1-3\cos^2\theta)$. 

练16：尝试分解更高阶的非常系数线性微分方程，导出分解方式所需满足的微分方程。提示：

初学者方法：设一个函数y，把算符直接作用在y上，用导数法则写成y的若干阶导数的形式，再把所有y的n阶导数改为$D^ny$，整体提一个y出来。

快速方法：算符没有交换律但有结合律，你可以随便加括号。一旦遇到函数在常微分算符的后面，把她们整体括起来并利用$Dg=gD+g'$把常微分算符拿到最后。重复此操作直至所有常微分算符都在一项的最右端。例：$DgD=(Dg)D=(gD+g')D=gD^2+g'D$. 

然后你就可以：先提前定好各分解方式，把各导数的系数定出来，写成一个看起来非常复杂的高阶非常系数线性微分方程。然后用你预先准备好的分解方式把这个方程秒了，十分炫酷。

练17：欧拉方程$x^ny^{(n)}+P_1x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+P_{n-1}xy'+P_ny=f(x)$，其中$P_1, P_2, \dots, P_n$为常数。

在常微分算符2中我们尝试过解决这个微分方程，不过为什么要换元$x=e^t$? 如果你没有想清楚，本题从非常系数常微分算符的角度出发，帮助你更深刻地理解为什么这个方程是少数能够解决的非常系数微分方程。请你不要换元，做出练16后把结果用在这里，用非常系数常微分算符解决此问题。你解题的过程会告诉你方程不是我们随便乱写出来的以及这个换元并不是凑出来或者猜出来的，而是非常系数微分方程中会出现的必然结果。

警告！！！前方有解析！请先准备好你的答案~

12. $y=e^{x^2}\int e^{-x^2}x^2\mathrm{d}x=-\dfrac{x}{2}+e^{x^2}\int\dfrac{e^{-x^2}\mathrm{d}x}{2}=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{\sqrt\pi}{4}e^{x^2}\mathrm{erf(x)}+Ce^{x^2}$. 

13. $y=e^{\cos x}\int e^{-\cos x}\sin x\cos x\mathrm{d}x=e^{\cos x}\int\cos x\mathrm{d}e^{-\cos x}=\cos x+1+Ce^{\cos x}$. 

14. $g'+\frac{3g}{x}-g^2=\frac{1}{x^2}$. 看次数都看得出来g是负一次的。直接设$g=\frac{A}{x}$, 得到A=1. $y=\dfrac{1}{D+\frac{1}{x}}\dfrac{1}{D+\frac{2}{x}}\dfrac{\ln x}{x^2}=e^{-\ln x}\int e^{\ln x}e^{-2\ln x}\int e^{2\ln x}\dfrac{\ln x}{x^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}x=\dfrac{1}{x}\int\dfrac{1}{x}\int\ln x\mathrm{d}x\mathrm{d}x=\dfrac{A\ln x}{x}+\dfrac{B}{x}+\ln x-2$. 

15. $g\cot\theta-g^2+g'=2\Rightarrow g=\tan x$. $\int(\cot x-\tan x)\mathrm{d}x=\ln|\sin x\cos x|\Rightarrow(D+\tan x)y=\dfrac{1}{|\sin x\cos x|}\int 2(1-3\cos^2x)|\sin x\cos x|\mathrm{d}x$. 注意积分号外面和里面的绝对值必定同正或同负，所以可以去掉绝对值。跳过一些中间的步骤，最后一个积分那里把变量统一换成cos x之后（以下将cos x简写为c）应该是$y=-c\int\dfrac{\frac{3}{2}c^4-c^2+A}{(1-c^2)c^2}\mathrm{d}c$. 这是一个有理积分，裂项为$y=-c\int\left(\dfrac{A+1}{2(1-c)}+\dfrac{A+1}{2(1+c)}+\dfrac{A}{c^2}-\dfrac{3}{2}\right)\mathrm{d}c=A-\dfrac{A+1}{2}\ln\dfrac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}+B\cos\theta+\dfrac{3}{2}\cos^2\theta$. 

现在应该能理解为什么我们把常系数情况的分解方式称为特征根了吧？因为我们相当于就是在求常微分算符的特征值呀！（特征根？特征值？本征值？我个人感觉本征值更合理一些，因为线性代数的矩阵-特征值-特征向量就对应量子力学的算符-本征值-本征函数，我们在讨论的是常微分算符而不是常微分矩阵。）

好的那么常微分算符系列到此就结束了，完结撒花～～～