前情提要

前面我们只讨论了常系数的线性微分方程，此处我们介绍一种特殊的变系数线性微分方程：欧拉方程。

基本概念

​形如：$x^ny^{(n)}+P_1x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+P_{n-1}xy'+P_ny=f(x)$的方程，(其中$P_1, P_2, \dots, P_n$为常数)，被称为欧拉方程。

为了解这个方程，此处令$x=e^t$,再将自变量x换成t.

此时有$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} = \dfrac{\mathrm{d}y}{x\mathrm{d}t}$

这里给演示如何求$\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}$，如果要继续往下推导，需要读者自行尝试。

$\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=\dfrac{\mathrm{d}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}{\mathrm{d}x}=\dfrac{\mathrm{d}(\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t})}{dx}=\dfrac{-\frac{1}{x^2}\cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}x+\frac{1}{x}\cdot \mathrm{d}(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t})}{\mathrm{d}x}=-\dfrac{1}{x^2}\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+\dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{\mathrm{d}(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t})}{\mathrm{d}t}\cdot \dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=-\dfrac{1}{x^2}\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+\dfrac{1}{x^2}\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2}=\dfrac{1}{x^2}\left(\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2}-\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)$

此时还有$\dfrac{\mathrm{d}^3y}{\mathrm{d}x^3}=\dfrac{1}{x^3}\left(\dfrac{\mathrm{d}^3y}{\mathrm{d}t^3}-3\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2}+2\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)$

如果此时用记号D表示对t求导的运算，即D表示$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$。

那么上面的式子就可以变化为

$xy'=Dy, x^2y''=D(D-1)y, x^3y'''=D(D-1)(D-2)y$

那么就可以归纳出$x^ky^{(k)}=D(D-1)(D-2)\cdots (D-k+1)y$

我们将此式代入原方程，就可以得到一个以t为自变量的常系数线性微分方程，最终再用$t=\ln x$反代就可得到方程的解。

例题

这里只给出一个例子来让大家体会过程

​例6：求欧拉方程$x^3y'''+x^2y''-4xy'=3x^2$的通解

我们作变换$x=e^t$，那么原式就变为$D(D-1)(D-2)y+D(D-1)y-4Dy=3e^{2t}$

将此方程化简则有$(D^3-2D^2-3D)y=3e^{2t}$

其特征方程为$\lambda^3-2\lambda^2-3\lambda=0$

易求它有三个解$\lambda_1=0, \lambda_2=-1, \lambda_3=3$.

通解即为$y=C_1+C_2x^{-1}+C_3x^3-\frac{1}{2}x^2$.

上面的这个例子是为了什么呢？我想说的是常微分算符的普适性，她不仅对线性齐次常系数常微分方程适用，也能够用于变系数微分方程。这体现了一种思想：面对我们不熟悉的问题，利用换元等手段，将其化为我们熟悉的问题，然后求解。

例7：消防员擅长灭火。他们接到电话后，先做好准备，然后前往火灾地点，其次灭火，最后返回。如果消防员到达火灾地点后，发现没有着火，该怎么办呢？

利用前面的思想：将不熟悉的问题化为熟悉的问题。我们擅长处理的是有火灾发生的情形，那么遇到没有火灾发生的情形时，就要将其转化为有火灾发生的情形，这样我们就能够解决问题了。于是答案显然是：前往火灾地点之后，发现没有着火，于是将此地点燃，然后灭火，最后返回。