物理

常微分算符5 第一阶段

$$(D-P(x))f(x)=e^{\int P(x)\mathrm{d}x}D(e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}f(x))$$

$$\dfrac{1}{D-P(x)}f(x)=e^{\int P(x)\mathrm{d}x}\int e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}f(x)\mathrm{d}x$$

而之前的式子只是$P(x)=\lambda$时的特殊情况。不用在意指数上的积分常数，因为你把$\int P(x)\mathrm{d}x$换成$\int P(x)\mathrm{d}x+C$时，积分号里面是负的C，积分号外面是正的C，两者直接抵消了。好了，公式给你了，题应该会做了吧？

练12：$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-2xy=x^2$. 提示：$\int e^{-x^2}\mathrm{d}x=\dfrac{\sqrt\pi}{2}\mathrm{erf}(x)+C$, 这里erf是误差函数。

练13：$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+y\sin x=\sin x\cos x$.

现在，我们已经完全掌握了一阶线性非常系数常微分方程。更高阶的线性非常系数常微分方程呢？先看二阶吧。我们来求解形如