竞赛入门
第一届NTR杯
2023年9月16日，是决定我们命运的一天——全国中学生物理竞赛复赛。为了帮助同学更好的应对复赛考试，质心将举办第50届物理竞赛月考-GPhO标准试，帮助大家查漏补缺。
而为了帮助同学更好的应对GPhO，我将在愚人节举办NTR（Natural）杯，作为送给大家的愚人节礼物。
本次考试分为Part A和Part B。每个部分14400秒，15分，总分30。
建议考试时间：
Part A：2023年4月1日9:00~12:00。
Part B：2023年4月1日14:00~17:00。
这只是建议考试时间，稍微早一点或者晚一点也没什么。
难度：因人而异。毕竟是按照我的风格命题的，看了就大概了解了。
那么下面就给出试题。
答题卡请自备A4纸。请只在答题卡上填写你的答案，而不要填写你的过程。否则后果自负。你可以在这里上传你的答案，参与到排行榜之中。
答案将于考试结束后24小时内公布。那时你将看到标准解答。标准解答未必正确，若有错误还请指出。
坐标北京
数竞入门定理公式总结【几何篇】
这是一份数竞的定理公式总结，主要对标数学预备轮，涵盖大部分内容(已备份至ink
目前比较粗糙，应该能看( ´∀｀)
(其实有些latex是ds帮我做的( ´∀｀)
预计下一个是代数篇
一、三角形
1. 基础定理
内角和定理：$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$
外角定理：$\angle A_{\text{外}} = \angle B + \angle C$
勾股定理：$a^2 + b^2 = c^2$（直角三角形）
特殊直角三角形比例： $1:\sqrt{3}:2$（30°-60°-90°）========== $1:1:\sqrt{2}$（45°-45°-90°)
2. 全等与相似
全等判定（SSS, SAS, ASA, AAS, HL）
相似判定（AA, SAS, SSS）
射影定理：$AD^2 = BD \cdot DC$（$AD$为斜边上的高）
相似比性质：面积比为相似比平方 $\frac{S_1}{S_2} = k^2$
3. 重要定理
中线定理：$AB^2 + AC^2 = 2AD^2 + 2BD^2$（$D$为$BC$中点）
中位线定理：中位线平行于第三边且为其一半
内角平分线定理：$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$（$D$在$BC$上）
外角平分线定理：$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$（$D$在$BC$延长线上）
斯特瓦尔特定理：$AD^2 = \frac{b^2m + c^2n}{m+n} - mn$（$D$分$BC$为$m:n$）
梅涅劳斯定理：共线条件 $\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$
塞瓦定理：共点条件 $\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$
4. 三角形五心
重心：中线交点，坐标公式 $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$
外心：垂直平分线交点，外接圆圆心
垂心：高线交点
内心：角平分线交点，内切圆圆心
旁心：旁切圆圆心
二、四边形
平行四边形：对边平行且相等，对角线互相平分
矩形：对角线相等 - 菱形：对角线垂直且平分对角
正方形：兼具矩形和菱形性质
梯形：中位线定理：中位线长 $= \frac{1}{2}(上底 + 下底)$
圆内接四边形：
托勒密定理：$AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC$
对角互补定理：$\angle A + \angle C = 180^\circ$
三、圆
1. 基本性质
圆周角定理：$\angle A = \frac{1}{2} \angle O$（圆心角为圆周角2倍）
直径性质：直径所对圆周角为$90^\circ$
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦
2.切线与弦
切线性质：切线与半径垂直
切线长定理：外点到圆的两切线长相等
弦切角定理：弦切角等于所夹弧的圆周角
3. 圆幂定理
相交弦定理：$PA \cdot PB = PC \cdot PD$
切割线定理：$PA^2 = PC \cdot PD$
4. 四点共圆条件：对角互补，外角等于内对角，同侧视角相等
四、面积公式与变换
1. 面积公式：
三角形：$S = \frac{1}{2}ah$，$S = \frac{1}{2}ab \sin C$
海伦公式：$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$（$s = \frac{a+b+c}{2}$）
等高模型：面积比等于底边比
2. 几何变换
对称、平移、旋转（构造辅助线常用）
坐标系两点距离：$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
中点公式：$\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$
接下来也有可能在大号更@^Alpha青^#EPz，或者都在这里( ´∀｀)
The end
FPhL第一届-预赛-答案公布
