质

物理

常微分算符

众所周知， y的导数记作$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}y$。那么，我们想到将$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$视为一个算符，作用在y上，记作$D=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ ，称为常微分算符。为什么有“常”？为了凑满5个字和“偏”相区分。但是这里不涉及“偏”，故略作微分算符。自然而然，积分算符是$\frac{1}{D}$。$\frac{y}{D} = \int ydx$

既然是算符，则不满足交换结合律。但是满足分配律之类。

$D(uv) = u(Dv) + (Du)v \neq (Du)v$

$kDu = D(ku)$

$Du + Dv = D(u+v)$

$Du + ku = (D+k) u$

$0/D = C \neq 0$

需要知道，微积分算符存在一些缺陷。看下面这个例子。

例1： 众所周知，$Dy = \mathrm{d}y/\mathrm{d}x$是导数。所谓二阶导，就是导数的导数，即$D(Dy) = D^2 y = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}) = \mathrm{d}^2y/\mathrm{d}x^2$（其中，dx看做一个整体）。但是有同学认为，利用商函数的求导法则，$D(u/v) = (uDv-vDu)/(Dv)^2$，这里令u=dy, v=dx, 二阶导应为$\frac{\mathrm{d}yD\mathrm{d}x-\mathrm{d}xD\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x^2}$ 。。。此同学一直认为他是对的，因为我们前面说到微积分算符不满足结合律，他认为不能直接将二阶微分算符写作$D^2$，必须用商函数求导法则。

这个问题此处从略，欢迎在评论区里讨论。我们先继续介绍微积分算符。了解了微积分算符以后，或许会有答案。

那么微积分算符有什么用呢？一般地，我们解微分方程的方法是“凑全微分”（猜）。这里介绍的微分算符，也是猜，不过是更高级的、更普适的猜。

微积分算符有一条重要性质：

$(D-\lambda)f(x)=e^{\lambda x}D(e^{-\lambda x}f(x))$

$\frac{1}{D-\lambda}f(x) = e^{\lambda x}\int e^{-\lambda x}f(x)\mathrm{d}x$

上述公式较为容易凑出。至于此公式的应用，由例题给出。

例2： 求解常微分方程$\frac{dy}{dx}-3y = 0$。

先写成$(D-3)y = 0$，移项得$y = \frac{0}{D-3} = e^{3x} \int e^{-3x} \cdot 0 dx = Ce^{3x}$，其中C为任意常数。$y=Ce^{3x}$即为通解。

练1：求解常微分方程$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-6y=e^{6x}$。（不要忘记加上积分常数C哦~）

例3： 求解常微分方程$\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} + \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - 2y = 0$。

先写成$(D^2 y + D y -2 y) = 0$，然后提出y后移项。$y=\frac{0}{D^2+D-2}$。但这里有二次方项，不能直接利用公式。怎么办呢？

因式分解！$D^2+D-2=(D-1)(D+2)$,   $y=\frac{1}{D-1}\frac{1}{D+2}0=\frac{1}{D-1}e^{-2x}\int e^{2x}0\mathrm{d}x=\frac{1}{D-1}Ce^{-2x}=e^x\int Ce^{-x}e^{-2x}\mathrm{d}x=e^x(-\frac{1}{3}Ce^{-3x}+C')=C_1e^{-2x}+C_2e^x$ .

一般地，会有一个将$D^2 + aD + b$变为$(D-\lambda_1)(D-\lambda_2)$的过程。会对应一个方程$\lambda^2+a\lambda+b=0$，称为特征根方程。此方程的两个根$\lambda_1,\lambda_2$称为特征根。

练2： 求解常微分方程$\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}-5\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+6y=0$。

练3： 求解常微分方程$\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}-2\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+y=0$

那么，特征根方程无解的情况又会如何呢？

例4： $\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}+y=0$

我们先写出了特征根方程$\lambda^2+1=0$，然后发现，这个方程无解！

但是，这里所说的“无解”，是指没有实数根。实际上，这个方程有两个共轭复根：$\lambda_{1,2}=\pm i$。

$y=\frac{1}{D+i}\frac{1}{D-i}0=\frac{1}{D+i}e^{ix}\int e^{-ix}0dx=e^{-ix}\int e^{ix}Ce^{ix}dx=e^{-ix}(\frac{1}{2i}Ce^{2ix}+C') = C_1 e^{ix} + C_2 e^{-ix}$ 。但是，注意到，我们既然扩展到复数域，那么积分常数也应是复数！$y = \widetilde C_1 e^{ix} + \widetilde C_2 e^{-ix}$。我们所希望得到的是实数通解，所以用欧拉公式$e^{ix}=i\sin x+\cos x$进行实部提取。于是得到通解$y=C_1\sin x+C_2\cos x$。这里$C_1,C_2$是不同于$\widetilde C_1,\widetilde C_2$的又一实常数。

练4：$\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}-2\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+2y=0$

关于二阶（最高阶的导数是2）线性（y及y的导数均为1次）齐次（除含y项以外只有0）常系数（y及y的导数的系数是常数）常（y是一元函数）微分方程的通解，见下表。

现在，我们已经完全求解了二阶线性齐次常系数常微分方程。更高阶的线性齐次常系数常微分方程如何求解呢？

例5：$\dfrac{\mathrm{d}^3y}{\mathrm{d}x^3}-\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}-2\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+2y=0$

先写特征根方程：$\lambda^3-\lambda^2-2\lambda+2=0$

这是一个三次方程。解三次方程是需要一点运气的。你盯着这个三次方程想了半天，突然发现，把$\lambda=1$代入方程，两边相等！也就是说，三次方程的其中一个根就是$\lambda=1$。你已经知道一个因子是$(\lambda-1)$，这样你就可以因式分解了。很快求出另外两个根是$\lambda=\pm\sqrt 2$. 后面的步骤你很快就能写出来了，得到通解$y=C_1e^{x}+C_2e^{\sqrt 2x}+C_3e^{-\sqrt 2x}$.

一般地，我们来求解形如$y^{(n)}+P_1y^{(n-1)}+\cdots+P_{n-1} y'+P_ny=0$的线性齐次常系数常微分方程。特征根方程是$\lambda^n+P_1\lambda^{n-1}+\cdots+P_{n-1}\lambda+P_n=0$. 这个方程的解有下列几种情况：

1. n相异实根

这个方程的根是实数$\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n$，并且这些实根两两互异。很轻松地写出：$y=\frac{1}{D-\lambda_1}\frac{1}{D-\lambda_2}\cdots\frac{1}{D-\lambda_n}0=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}+\cdots+C_ne^{\lambda_nx}$. 即通解为：

$y=\sum\limits_{k=1}^{n}C_ke^{\lambda_kx}$

2. n重根

这个方程可以写成$(\lambda-\lambda_0)^n=0$的形式，故此方程的n个实根相同，均为$\lambda_0$。（下将$\lambda_0$简写为$\lambda$）则$y=\frac{1}{D-\lambda}\frac{1}{D-\lambda}\frac{1}{D-\lambda}\cdots 0$. 逐渐写每一项，得到通解：

$y=\sum\limits_{k=1}^{n}C_kx^{k-1}e^{\lambda x}$

3. 复根

一般情况下，方程的根会有一些是复数。这些复数可以配对，如果一个复数是该方程的根，则其共轭必然也为该方程的根。但那不重要，其实这和相异实根的情况几乎没什么区别，只是扩展到了复数域而已。最后我们想要的结果应当是实数，所以要进行实部提取。下面将方程的解记为$\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$，并且它们中的一些可能是复数。

$y=\Re\sum\limits_{k=1}^{n}\widetilde C_ke^{\lambda_kx}$

其中，$\Re$表示实部提取。

4. 通解的构造

上面三种情况讲述了对不同类型通解的一些构造方法。而我们知道，一个n阶线性齐次微分方程的通解应当是其n个线性无关的特解的线性叠加。一个特征根就对应着一个特解，把这个特解乘上一个待定常数之后加到通解里。这就提供了一种构造通解的方法。我们需要掌握的是这种方法，而不是背诵公式。

我们遇到一个特征根$\lambda$的时候：

如果$\lambda$是实数，并且从未在通解中出现过，我们在通解中加入$Ce^{\lambda x}$。

如果$\lambda$是实数，但是已经出现过n次了，我们在通解中加入$Cx^ne^{\lambda x}$。注意这里的『已经出现过』，我们在逐个看特征根，不会去看后面的。也就是说一个n重根$\lambda$，第一次遇到的时候记作$e^{\lambda x}$，第二次就是$xe^{\lambda x}$了，第三次遇到的时候发现$e^{\lambda x}$和$xe^{\lambda x}$都已经有了，只能记作$x^2e^{\lambda x}$。总之就是那个意思。

如果$\lambda$是复数$\alpha+i\beta$，一定有另外一个特征根是$\alpha-i\beta$。这两个特征根一起给通解加入$Ce^{\alpha x}\cos (\beta x)+C'e^{\alpha x}\sin (\beta x)$。当然，我们可以强行规定：虚部为正时加入$\sin$，虚部为负时加入$\cos$。反过来规定也行。这样做的好处是我们可以把特征根打乱，看一个特征根的时候不需要把另一个特征根找出来，真正实现了『逐个看特征根』。当然，我们自己一定要记住实际上是共轭复根共同加入两项，不是一个特征根加入$\sin$，另一个特征根加入$\cos$。

另一个需要注意的问题是：复根也有可能重。实际上，重复根的处理方法和重实根是一样的，乘以一个$x^n$就可以了。我们之前不是做过一个规定吗，这个规定在处理重复根的时候显现出其优异的性能。假设一个四次特征根方程解出来是$\lambda_1=\lambda_2=\alpha+i\beta,\lambda_3=\lambda_4=\alpha-i\beta$。我们在看$\lambda_1$的时候加入了$C_1e^{\alpha x}\sin (\beta x)$。在看$\lambda_2$的时候发现重了一个呀，于是加入$C_2xe^{\alpha x}\sin (\beta x)$。在看$\lambda_3$的时候发现其实是没有重的，加入$C_3e^{\alpha x}\cos (\beta x)$。$\lambda_4$自然加入$C_4xe^{\alpha x}\cos (\beta x)$。通解即为：$y=C_1e^{\alpha x}\sin (\beta x)+C_2xe^{\alpha x}\sin (\beta x)+C_3e^{\alpha x}\cos (\beta x)+C_4xe^{\alpha x}\cos (\beta x)$。

练5：$\dfrac{\mathrm{d}^5y}{\mathrm{d}x^5}-15\dfrac{\mathrm{d}^4y}{\mathrm{d}x^4}+85\dfrac{\mathrm{d}^3y}{\mathrm{d}x^3}-225\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}+274\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-120y=1$. 提示：12345。

练6：$\dfrac{\mathrm{d}^7y}{\mathrm{d}x^7}+7\dfrac{\mathrm{d}^6y}{\mathrm{d}x^6}+21\dfrac{\mathrm{d}^5y}{\mathrm{d}x^5}+35\dfrac{\mathrm{d}^4y}{\mathrm{d}x^4}+35\dfrac{\mathrm{d}^3y}{\mathrm{d}x^3}+21\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}+7\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+y=0$. 提示：杨辉三角。

练7：$\dfrac{\mathrm{d}^5y}{\mathrm{d}x^5}-4\dfrac{\mathrm{d}^4y}{\mathrm{d}x^4} + 5\dfrac{\mathrm{d}^3y}{\mathrm{d}x^3}-20\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}+6\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-24y=0$. 提示：一个特征根是4。

练8：$\dfrac{\mathrm{d}^7y}{\mathrm{d}x^7}-7\dfrac{\mathrm{d}^6y}{\mathrm{d}x^6}+15\dfrac{\mathrm{d}^5y}{\mathrm{d}x^5}-5\dfrac{\mathrm{d}^4y}{\mathrm{d}x^4}-16\dfrac{\mathrm{d}^3y}{\mathrm{d}x^3}+12\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}+4\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-4y=0$. 提示：没有提示！尝试用瞪眼法解七次方程！

我记得，四次以上的方程好像没有解析解来着？（小声地自言自语中）

练习题答案（一定要自己先做一遍！不要直接看答案。）：

1. $y=\frac{e^{6x}}{D-6} = e^{6x} \int e^{-6x} e^{6x} dx = xe^{6x} + Ce^{6x}$.
2. $y=\frac{1}{D-2}\frac{1}{D-3}0=\frac{1}{D-2}C_1e^{3x}=e^{2x}\int e^{-2x}C_1e^{3x}dx=C_1e^{3x}+C_2e^{2x}$.
3. $y=\frac{1}{D-1}\frac{1}{D-1}0=\frac{1}{D-1}C_1e^x = e^x \int e^{-x} C_1 e^x dx=C_1xe^x+C_2e^x$.
4. $\widetilde y=\frac{1}{D-1-i}\frac{1}{D-1+i}0=\frac{1}{D-1-i}\widetilde C_1e^{(1-i)x}=e^{(1+i)x}\int \widetilde C_1e^{(-1-i)x}e^{(1-i)x}dx=\frac{i}{2}e^{(1-i)x}\widetilde C_1+\frac{i}{2}e^{(1+i)x}\widetilde C_2$. $y = C_1e^x\sin x+C_2e^x\cos x$.
5. 本题的特征根为$\lambda_k = k, k=1,2,3,4,5.$ 于是写出对应齐次方程的通解$y=C_1e^x + C_2e^{2x} + C_3e^{3x} + C_4e^{4x} + C_5e^{5x}$. 显然有特解$y \equiv 1$. 则非齐次方程的通解为$y=C_1e^x + C_2e^{2x} + C_3e^{3x} + C_4e^{4x} + C_5e^{5x} +1$.
6. 看到这个系数，感觉非常熟悉。在哪里见过呢？杨辉三角！若认为“1”为杨辉三角的第0行，则系数就在第七行。那么，特征根方程就是$(\lambda+1)^n = 0$，特征根为7重根：-1。通解$y=C_1e^{-x} + C_2xe^{-x} + C_3x^2e^{-x} + C_4x^3e^{-x} + C_5x^4e^{-x} + C_6x^5e^{-x} + C_7x^6e^{-x}$.
7. 瞪眼法求出一个根是4。然后因式分解，$\lambda_{1,2,3,4,5} = 4, \sqrt 2i, -\sqrt 2i, \sqrt 3i, -\sqrt 3i$. $\widetilde y=\widetilde C_1e^{4x} + \widetilde C_2e^{\sqrt 2ix} + \widetilde C_3e^{-\sqrt 2ix} + \widetilde C_4e^{\sqrt 3ix} + \widetilde C_5e^{-\sqrt 3ix}$, $y=C_1e^{4x} + C_2\sin (\sqrt 2x) +C_3\cos (\sqrt 2x) + C_4 \sin (\sqrt 3x) + C_5\cos (\sqrt 3x)$.
8. 先猜出1，然后发现：1竟然是3重根！因式分解之后，剩下的是$\lambda^4-4\lambda^3+8\lambda+4$。4次方程已经可以用求根公式了，但不需要。因为这是一个完全平方$(\lambda^2-2\lambda+2)^2$。于是七个特征根分别是：$1,1,1,1+i,1-i,1+i,1-i$。按照前面给出的根的构造方法，得到通解$y=C_1e^x+C_2xe^x+C_3x^2e^x+C_4e^x\sin x+C_5e^x\cos x+C_6xe^x\sin x+C_7xe^x\cos x$。

线性齐次常系数常微分方程已经告一段落，但微积分的大门才刚刚向你敞开。在微积分的世界里，继续探索下去吧！欲知后事如何，且听下回分解。