数学 【补档】函数与极限（2）
$\Huge{新手篇(1)}$
$\huge{引言}$
我们在小学二年级的时候就学过数列，我们见过各种数列。
如果没学过怎么办🤔
建议回炉重造🤓
很多的数列就非常有规律，比如说下面几个：
$1，2，3，4，5，6\cdots ；$
$\frac{1}{2}，\frac{2}{3}，\frac{3}{4}，\frac{4}{5}，\frac{5}{6}，\frac{6}{7}\cdots ；$
$1，-1，1，-1，1，-1\cdots$
望着那向远方的无穷延伸的数列，你是否曾经遐想过：
它们在无穷远的地方，会怎样？
当数列变成函数，又会怎样？
如果不向远方，而向未知——一些没有被定义的区域，又会怎样？
极限，启动！（一段莫名的BGM🎶）
$\huge{Part~01.数列的极限}$
$\LARGE{§_1.数列极限的定义}$
如果有数列$\{ x_n\}$，当$n$趋于无穷时，$x_n$是否能无限趋近于一个常数🤔？
我们先看看柯西给出的数列极限定义🤓：
如果有数列$\{ x_n\}$，当$n$趋于无穷大时，$x_n$无线逼近一个常数，这个常数就是$\{ x_n\}$的极限.
但是“无限逼近”还是太抽象了，有没有更严谨的说法？
这就要给到德国数学家魏尔斯特拉斯$(Weierstrass)$给出的数列极限定义：
设$\{ x_n\}$为一数列，如果存在常数$a$，对于任意给定的正数$ε$，总存在正整数$N$，使得当$n\gt N$时，$|x_n-a|\lt ε$成立，那么称$a$是数列$\{ x\}$的$\color{blue}{极限}$，或者称数列$\{ x\} \color{blue}{收敛于}$ $a$，记为$\lim_{n\to\infty}x_n=a$，或$x_n\to a(n\to \infty )$
能不能简洁一点呢？
$\lim_{n\to\infty}x_n=a\iff ∀ε\gt 0，∃N∈\mathbb{N}^*$，当$n\gt N$，有$|x_n-a|\lt ε$
这看起来更抽象了，到底是什么意思？
我们可以这样理解$\sout{这一坨}$它：
众所周知，$|a-b|$代表$a$与$b$的距离，
我们想让数列$\{ x_n\}$的项无限逼近它的极限$a$，即当$n$趋近于无穷大时，$|x_n-a|$趋近于$0$
趋近于0就要很小，🌰：假设数列$\{ x_n\}$的通项为$\frac{(-1)^n}{n}$
我们很容易发现$x_n$是趋近于$0$的，如果让$|x_n-a|\lt 0.3$，那么不难发现第$3$项后面的项全部满足；
同样我们如果让$|x_n-a|\lt 0.01$，第$100$项后面的项也全部满足.
不管要求它们的距离小于多小的一个数，总能找到从某一项开始，后面的项满足这个条件
这，便是数列极限的定义！
$\textbf{例1}.$若$x_n=\frac{1}{(n+1)^2}$，证明$\lim_{x_n\to\infty}=0.$
$\color{skyblue}{首先算出|x_n-0|=\frac{1}{(n+1)^2}，为了∀ε\gt 0，\frac{1}{(n+1)^2}\lt ε，}$
$\color{skyblue}{我们就能得到n应该满足n\gt\frac{1}{\sqrt{ε}}-1.}$
接下来就可以按照定义来证明了！
$\textbf{证：}∀ε\gt 0$，取$N=\left[\frac{1}{\sqrt{ε}}\right]$
$\quad $当$n\gt N$，有$|x_n-0|=\frac{1}{(n+1)^2}\lt ε$
即$\lim_{n\to\infty}x_n=0$
$Q.E.D.$
$\textbf{例2.}$求数列$\{\frac{2^n+1}{3^n}\}$的极限。
$\color{skyblue}{我们先来猜一下，它的极限应该是0，那么∀ε\gt 0，|\frac{2^n+1}{3^n}|\lt ε.}$
$\color{skyblue}{接下来就要求n的取值，但是分子上的“+1”会让整体有些麻烦，由于n\ge 1，于是我们可以让\frac{2^n+1}{3^n}\lt 2(\frac{2}{3})^n\lt ε}$
$\color{skyblue}{然后就能解得n\gt\frac{\ln\frac{ε}{2}}{\ln\frac{2}{3}}.}$
$\textbf{解：}∀ε\gt 0$，取$N=\max\{\left[\frac{\ln\frac{ε}{2}}{\ln\frac{2}{3}}\right] +1，1\}$
$\quad $则$|x_n|=x_n\lt x_{{}_N}\le\frac{2^{\left[\frac{\ln\frac{ε}{2}}{\ln\frac{2}{3}}\right]+1}+1}{3^{\left[ \frac{\ln\frac{ε}{2}}{\ln\frac{2}{3}}\right]+1}}\lt 2\cdot (\frac{2}{3})^{\frac{\ln\frac{ε}{2}}{\ln\frac{2}{3}}}=ε$
$\therefore\lim_{n\to\infty}\frac{2^n+1}{3^n}=0$
这里有一个问题为什么$N$不取$\left[\frac{\ln\frac{ε}{2}}{\ln\frac{2}{3}}\right] +1$，而要取它和$1$的最大值🤔？
因为一旦$ε$过大，$N$就会变成一个负数，导致不符合定义，证明存在漏洞。
这里的过程比较严谨，但是我们常见的许多极限都是一眼就能看出来的.
$\LARGE{§_2.收敛数列的性质}$
收敛数列有以下4个重要性质：
$\textbf{\large{性质1.唯一性}}$
若数列$\{ x_n\} $收敛，则它的极限唯一。
显然这个结论是成立的，没有一个数列会同时逼近两个不等的数
要严谨证明，我们可以用反证法：
$\textbf{证：}$设$\lim_{n\to\infty}x_n=a，\lim_{n\to\infty}x_n=b，a\gt b$，取$ε=\frac{a-b}{2}.$
$\therefore ∃N_1∈\mathbb{N}^*$，当$n\gt N_1$，有$|x_n-a|\lt\frac{a-b}{2}$
$\implies x_n\gt\frac{a+b}{2}$
同理$∃N_2∈\mathbb{N}^*$，当$n\gt N_2$，有$|x_n-b|\lt\frac{a-b}{2}$
$\implies x_n\lt\frac{a+b}{2}$
取$N=\max\{ N_1，N_2\}$ ，当$n\gt N$时，$\frac{a+b}{2}\lt x_n\lt\frac{a+b}{2}$
矛盾！
$\therefore $若数列$\{ x_n\} $收敛，则它的极限唯一
$Q.E.D.$
$\textbf{\large{性质2.有界性}}$
若数列$\{ x_n\} $收敛，则$\{ x_n\} $有界。
那什么是数列有界性🤔
和函数的有界性差不多：对于数列$\{ x_n\} ，∃M\gt 0$，使$|x_n|\le $M，则称$\{ x_n\}\color{blue}{有界}$，反之称它$\color{blue}{无界}$。
$\textbf{证：}$设$\lim_{n\to\infty}x_n=a$，对于$ε=1，∃N\in\mathbb{N}^*$，当$n\gt N$时，$|x_n-a|\lt 1$
即$|x_n|\le |x_n-a|+|a|\lt |a|+1$
取$M=\{ |x_1|，|x_2|，\cdots ，|x_{{}_N}|，|a|+1\} $，则$∀x_n$，满足$|x_n|\le M$
$Q.E.D.$
$\large{\color{red}{但是！}}$如果数列$\{ x_n\}$有界，却不一定代表他收敛，举个🌰：数列$\{ x_n\} =(-1)^n$，它每一项的值在-1和1两数间来回跳动，显然发散💦
$\textbf{\large{性质3.保号性}}$
若$\lim_{n\to\infty}x_n=a$，且$a\gt 0(a\lt 0)$，则$∃N\in\mathbb{N}^*$，当$n\gt N$时，$x_n\gt 0(x_n\lt 0).$
$\textbf{证：}$若$a\gt 0$，取$ε=\frac{a}{2}，∃N\in\mathbb{N}^*$，当$n\gt N$时，$|x_n-a|\lt \frac{a}{2}，$
则$x_n\gt a-\frac{a}{2}=\frac{a}{2}\gt 0.$
同理$a\lt 0$时亦成立
$Q.E.D.$
机智的你不禁思考：你如果反过来，命题还成立吗？
恭喜这位聪明绝顶你——解锁隐藏推论♿！
$\large{\textbf{推论3}$ $'\textbf{.}}$
若$\lim_{n\to\infty}x_n=a，∃N\in\mathbb{N}$，当$n\gt N$时，有$x_n\ge 0(x_n\le 0)，则a\ge 0(a\le 0).$
你试着直接证明一下，证一下就发现：证不出来？？？依旧反证！
$\textbf{证：}$假设命题不成立，即当$n\gt N$时，若$x_n\ge 0，a\lt 0$
取$ε=-\frac{a}{2}$，则$∃N_ε∈\mathbb{N}^*$，当$n\gt N$时，
有$|x_n-a|\lt -\frac{a}{2}.$
$\therefore x_n\lt\frac{a}{2}\lt 0.$
又$x_n\ge 0$，所以命题不成立.
同理，当$n\gt N$时，若$x_n\le 0，a\lt 0.$
$\quad ~~~Q.E.D.$
你给自己留了个小问题思考：为什么保号性中$a$和$x_n$不能取0，而它的推论却可以？
$\textbf{\large{性质4.保不等式性}}$
若数列$\{ a_n\}\{ b_n\}$均收敛，$∃N∈\mathbb{N}^*$，当$n\gt N$时，$a_n\ge b_n$，则$\lim_{n\to\infty}a_n\ge\lim_{n\to \infty}b_n.$
依旧反证！！
$\textbf{证：}$令$\lim_{n\to\infty}a_n=a，\lim_{n\to\infty}b_n=b$，假设$a\lt b.$
取$ε=\frac{b-a}{2}$，则$∃N_1，N_2∈\mathbb{N}^*$，当$n\gt N_1，|a_n-a|\lt ε$，当$n\gt N_2，|b_n-b|\lt ε.$
取$N=\max\{ N_1，N_2\} $，则$n\gt N$时，有
$a_n\lt ε+a=\frac{a+b}{2}，b_n\gt -ε+b=\frac{a+b}{2}.$
于是$a_n\lt b_n$，矛盾！
$\therefore a\ge b~~~Q.E.D.$
$\textbf{\large{性质5.子数列收敛性}}$
若数列$\{ x_n\}$收敛于$a$，则它的任一子数列亦收敛于$a$
你想道，子数列又是什么？
在一个数列$\{ x_n\}$中任意抽取无穷项并保持它们在$\{ x_n\}$中的先后顺序，则得到的新数列称为$\{ x_n\}$的$\color{blue}{子数列}$.
🌰：在数列$\{ x_n\}$中，第一次抽取$x_{n_1}$，第二次抽取$x_{n_2}$，第三次抽取$x_{n_3}\cdots\cdots$这样抽取无穷项，就得到了数列$\{ x_n\}$的子数列$\{ x_{n_k}\}$，显然我们知道$n_k\ge k$
愉快的证明时间♿
$\textbf{证：}$设数列$\{ x_{n_k}\}$为数列$\{ x_n\}$的一子数列。
$\because \lim_{n\to\infty}x_n=a$
$\therefore ∀ε\gt 0，∃N∈\mathbb{N}^*$，当$n\gt N$时，$|x_n-a|\lt ε$
则当$k\gt N$时，$n_k\gt n_N\ge N$，于是$|x_{n_k}-a|\lt ε$
$\therefore\lim_{k\to\infty}x_{n_k}=a$
$Q.E.D.$
接下来就是——函数极限！♿
$\huge{Part~02.函数的极限}$
$\LARGE{§_1.简单小定义}$
我们要研究函数的极限，主要分两种情形：
$(1).$自变量趋于有限值；
$(2).$自变量趋于无穷大.
当然这两种情形的定义还是$Weierstrass$提出来的♿😍
$\Large{\textbf{1.自变量趋于有限值的函数极限}}$
首先我们了解一些非常简单的东西：
$\textbf{定义：}$
$\bullet\textbf{邻域}$ 以点$x_0$为中心的任何开区间称为$x_0$的$\color{blue}{邻域}$，记作$U(x_0).$
$\bullet\textbf{δ邻域}$ 设$δ\gt 0$，则集合$(x_0-δ，x_0+δ)$称为点$x_0$的$\color{blue}{δ邻域}$，记作$U(x_0，δ).$其中点$x_0$称为$\color{blue}{邻域中心}$，$δ$称为$\color{blue}{邻域半径}$，$(x_0-δ，x_0)$称为$\color{blue}{左邻域}$，$(x_0，x_0+δ)$称为$\color{blue}{右邻域}$。
$\bullet\textbf{去心δ邻域}$ 集合$(x_0-δ，x_0)\cup (x_0 ，x_0+δ)$称为点$x_0$的$\color{blue}{去心δ邻域}$，记作$\overset{\circ}{U}(x_0)$。
接下来就来看看定义：
设函数$f(x)$在点$x_0$的某一去心邻域有定义，若存在常数$a$，对于任意的正数$ε$，总存在正数$δ$，使当$x$满足$0\lt |x-x_0|\lt δ$时，函数值$f(x)$满足$|f(x)-a|\lt ε$，那么称$a$为$\color{blue}{函数f(x)当x\to x_0时的极限}$，记作$\lim_{x\to x_0}f(x)=a或f(x)\to a(x\to x_0)$。
当然也可以这样：
$\lim_{x\to x_0}f(x)=a\iff ∀ε\gt 0，∃δ\gt 0，当x∈\overset{\circ}{U}(x_0，δ)，|f(x)-a|\lt ε.$
还是先通俗地理解一下：
我们来举个例子：$\lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}$
它算出来结果为$2$，但这个函数在$x=1$时是没有定义的。
我们最终要的是这个函数与$2$的距离小于一个任给的正数$ε$，如果让$ε=1$，我们可以找到一个去心邻域，使$x$在这个去心邻域时，函数值与极限的距离比$1$小。
如果缩小$ε$到$\frac{1}{10}$，同样能找到一个去心邻域，使$x$在这个去心邻域时，函数值与极限的距离比$\frac{1}{10}$小。
再缩小$ε$到$\frac{1}{114514}$，我还能找到一个去心邻域，使$x$在这个去心邻域时，函数值与极限的距离比$\frac{1}{114514}$小。
$\cdots\cdots$
不管我把$ε$变得多小，都可以找到一个去心邻域，让$x$在这个区间时，函数值与极限的距离比$ε$小。
如果还是看不懂，怎么办🤔？
你可以再看一遍🤓👍