物理

『栖岸计划』好题分享

致谢阿斯法大局规划指出的一处错误

这是一道华中师大一附中的自招题，主要考察韦达定理与均值不等式（当然，你设函数求导爆算也不是不行）

题目如下：

对任意实数k，关于x的方程$(k^2+1)x^2-2(k+a)^2x+k^2+4k+b=0$总有一个根为1，求另一根的取值范围

我们整理这个方程可得$(4-4a)k-2a^2+b+1=0$，因为k取任意值皆可，所以a=1，此时，b=1。

则把它带入到原方程并由韦达定理得$x_1x_2=x_2=1+\frac{4k}{k^2+1}=1+\frac{4}{k+\frac{1}{k}}$

由此可得k≠0，所以这个式子有k>0和k<0两种情况

则在k>0时，由均值不等式得$k+\frac{1}{k}≥2$，也就是原式有最大值3

在k<0时，$k+\frac{1}{k}≤-2$，也就是原式有最小值-1

所以综上，$x_2$的取值范围是-1≤x≤3