物理 [栖岸计划]1.2 数列极限（5）
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下一节：
有了前面的铺垫，我们可以继续讲解下面的内容。
虽然我们还没有讲到导数，但凭借高中所学的知识，大部分人应该都听说了洛神的威力。其实，关于数列极限，也有类似于L'Hospital的结论。下面，让我们欢迎——Stolz定理！
定理：（1）若 $\{a_n\}, \{b_n\}$ 是两个数列， $\{b_n\}$ 严格单调递增趋于正无穷，且 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=A$ ，则 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=A$ 。
（2）若 $\{a_n\},\{b_n\}$ 是两个收敛到 $0$ 的数列， $\{b_n\}$ 严格单调递减，且 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=A$ ，则 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=A$ 。
证明：（1）由于 $\{b_n\}$ 严格单调递增趋于正无穷，必然存在 $N_1\in\N^*$ ，当 $n\gt N_1$ 时， $b_n\gt 0$ 。
由极限的定义，对任意 $\varepsilon\gt 0$ ，存在 $N_2\in\N^*$ ，当 $n\gt N_2$ 时， $A-\frac{\varepsilon}{2}\lt \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}\lt A+\frac{\varepsilon}{2}$ 。
取 $N_3=\max\{N_1,N_2\}+1$ 。
由于 $\{b_n\}$ 严格单调增，有 $(A-\frac{\varepsilon}{2})(b_{n+1}-b_n)\lt a_{n+1}-a_n\lt(A+\frac{\varepsilon}{2})(b_{n+1}-b_n)$ ，
对下标 $n$ 从 $N_3$ 到 $n-1$ 求和，得对任意 $n\gt N_3$ ，有 $(A-\frac\varepsilon2)(b_n-b_{N_3})\lt a_n-a_{N_3}\lt(A+\frac\varepsilon2)(b_n-b_{N_3})$ 。
当 $n\gt N_3$ 时，
有 $a_{N_3}-Ab_{N_3}-\frac\varepsilon2(b_n-b_{N_3})\lt a_n-Ab_n\lt a_{N_3}-Ab_{N_3}+ \frac \varepsilon 2 (b_n-b_{N_3})$ 。
由于 $b_n\gt 0$ ，有 $\frac{a_{N_3}-Ab_{N_3}}{b_n}-\frac{\varepsilon}{2}(1-\frac{b_{N_3}}{b_n})\lt\frac{a_n}{b_n}-A\lt \frac{a_{N_3}-Ab_{N_3}}{b_n}+\frac\varepsilon2(1-\frac{b_{N_3}}{b_n})$ ，
由于 $b_n\gt b_{N_3}\gt 0$ ，有 $0\lt1-\frac{b_{N_3}}{b_n}\lt 1$ ，
从而 $\frac{a_{N_3}-Ab_{N_3}}{b_n}-\frac\varepsilon2\lt\frac{a_n}{b_n}-A\lt\frac{a_{N_3}-Ab_{N_3}}{b_n}+\frac{\varepsilon}{2}$ 。
由于 $\{b_n\}$ 单调递增趋于正无穷，对任意 $\varepsilon\gt 0$ ，存在 $N_4\in\N^*$ ，当 $n\gt N_4$ 时， $b_n\gt\frac2\varepsilon|a_{N_3}-Ab_{N_3}|$ ，
从而 $|\frac{a_{N_3}-Ab_{N_3}}{b_n}|\lt\frac\varepsilon2$ 。
令 $N_5=\max\{N_3,N_4\}$ ，则当 $n\gt N_5$ 时，
有 $-\varepsilon\lt\frac{a_{N_3}-Ab_{N_3}}{b_n}-\frac\varepsilon2\lt\frac{a_n}{b_n}-A\lt\frac{a_{N_3}-Ab_{N_3}}{b_n}+\frac\varepsilon2\lt\varepsilon$ 。
故对于任意的 $n\gt N_5$ ，有 $|\frac{a_n}{b_n}-A|\lt\varepsilon$ 。
由 $\varepsilon$ 的任意性与极限的定义，有 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=A$ 。证毕。