物理 [栖岸计划]1.2 数列极限（4）
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下一节：
完成了关于自然常数的讨论之后，我们把视野放回数列的极限。由前面的讨论，我们知道，有界数列不一定收敛。但是它的子列呢？我们有如下的结论：
定理：有界数列必有收敛子列。
证明：[引理]（闭区间套定理）考虑一族闭区间套 $[a_1,b_1],[a_2,b_2],[a_3,b_3],\cdots$ 。若 $\forall k\in\N^*$ ，总有 $[a_{k+1},b_{k+1}]\subseteq[a_k,b_k]$ ，且 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0$ ，则有且仅有唯一的 $\xi\in\R$ ，使得对任意的 $n\in\N^*$ ，均有 $\xi\in[a_n,b_n]$ 。
[引理的证明]对于任意 $n\in\N^*$ ，均有 $b_n\gt a_n\ge a_{n-1}\ge a_{n-2}\ge\cdots\ge a_1$ ，
而 $b_{n+1}\le b_n$ ，从而 $\{b_n\}$ 单调递减有下界，故收敛。取 $\xi=\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n$ 。
由于 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0$ ，有 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\xi$ 。
由于 $\{b_n\}$ 单调减， $\{a_n\}$ 单调增，有 $\xi$ 为 $\{b_n\}$ 的下确界， $\{a_n\}$ 的上确界，
从而对任意 $n\in\N^*$ ，均有 $\xi\in[a_n,b_n]$ 。存在性得证。
设 $\xi'$ 满足 $\forall n\in\N^*$ ，有 $\xi'\in[a_n,b_n]$ 。则对任意 $n\in\N^*$ ，有 $b_n\ge \xi'$ 。
从而由保号性，有 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n\ge \xi'$ ，即 $\xi\ge \xi'$ 。
同理 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n\le\xi'$ ，即 $\xi\le\xi'$ 。故 $\xi'=\xi$ ，唯一性得证。
综上，有且仅有唯一的 $\xi\in\R$ 使得对任意的 $n\in\N^*$ 均有 $\xi\in[a_n,b_n]$ 。证毕。
回到原题。由于数列有界，必然存在 $M\gt 0$ ，对任意 $n\in\N^*$ ，有 $a_n\in[-M,M]$ 。
我们记 $p_1=-M, q_1=M, n_1=1$ 。
由于有无穷多个 $n\gt n_1$ 使得 $a_n\in[p_1,q_1]$ ，可以得到以下两者中至少一条成立：
①有无穷多个 $n\gt n_1$ 使得 $a_n\in[p_1,\frac{p_1+q_1}{2}]$ ；
②有无穷多个 $n\gt n_1$ 使得 $a_n\in[\frac{p_1+q_1}{2},q_1]$ 。
若前者成立，则取 $p_2=p_1,q_2=\frac{p_1+q_1}{2}$ ；否则，取 $p_2=\frac{p_1+q_1}{2},q_2=q_1$ 。
然后取 $n_2\gt n_1$ 使得 $a_{n_2}\in[p_2,q_2]$ 。
由于有无穷多个 $n\gt n_1$ 使得 $a_n\in[p_2,q_2]$ ，必然有无穷多个 $n\gt n_2$ 使得 $a_n\in[p_2,q_2]$ 。
再用类似的方法，可以取得 $n_3\gt n_2$ ， $[p_3,q_3]\subseteq [p_2,q_2]$ ，
此时 $a_{n_3}\in[p_3,q_3]$ ，且存在无穷多个 $n\gt n_3$ ，使得 $a_n\in[p_3,q_3]$ 。
重复操作，可以得到 $\{a_n\}$ 的子列 $\{a_{n_k}\}$ 。
而由引理，有且仅有唯一的 $\xi\in\R$ ，使得对任意的 $n\in\N^*$ ，有 $p_n\le \xi\le q_n$ ，
由于 $a_{n_k}\in[p_k,q_k]$ ，有 $|a_{n_k}-\xi|\le q_k-p_k$ 。
而按照上述取法，总有 $q_{k+1}-p_{k+1}=\frac{q_k-p_k}{2}$ ，归纳可得 $q_k-p_k=M\cdot 2^{-k+2}$ 。
从而对任意 $k\in\N^*$ ，有 $|a_{n_k}-\xi|\le M\cdot 2^{-k+2}$ 。
对任意 $\varepsilon\gt 0$ ，取 $K=\lceil\log_2 \frac{M}{\varepsilon}\rceil+2$ ，当 $k\gt K$ 时，
有 $-k+2\lt-K+2=-\lceil\log_2\frac{M}{\varepsilon}\rceil\le-\log_2\frac{M}{\varepsilon}$ ，
从而 $|a_{n_k}-\xi|\le M\cdot 2^{-k+2}\lt M\cdot\frac{\varepsilon}{M}=\varepsilon$ 。
由 $\varepsilon$ 的任意性与极限的定义，知 $\displaystyle\lim_{k\to\infty}a_{n_k}=\xi$ 。
从而我们找到了 $\{a_n\}$ 的一个收敛子列 $\{a_{n_k}\}$ 。证毕。
这一结论被称为Bolzano-Weierstrass定理，又称列紧性原理。由于它仅仅是给出“存在一个子列收敛”，而并没有给出具体的子列，它更多还是用于作为证明时的辅助构造工具，而非直接用于完成计算和证明。
由Bolzano-Weierstrass定理，可以得到一些有用的定义，如极限点和上下极限，不过在此不会作详细讨论。