物理 [栖岸计划]1.2 数列极限（4）
跳转：
下一节：
完成了关于自然常数的讨论之后，我们把视野放回数列的极限。由前面的讨论，我们知道，有界数列不一定收敛。但是它的子列呢？我们有如下的结论：
定理：有界数列必有收敛子列。
证明：[引理]（闭区间套定理）考虑一族闭区间套 $[a_1,b_1],[a_2,b_2],[a_3,b_3],\cdots$ 。若 $\forall k\in\N^*$ ，总有 $[a_{k+1},b_{k+1}]\subseteq[a_k,b_k]$ ，且 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0$ ，则有且仅有唯一的 $\xi\in\R$ ，使得对任意的 $n\in\N^*$ ，均有 $\xi\in[a_n,b_n]$ 。
[引理的证明]对于任意 $n\in\N^*$ ，均有 $b_n\gt a_n\ge a_{n-1}\ge a_{n-2}\ge\cdots\ge a_1$ ，
而 $b_{n+1}\le b_n$ ，从而 $\{b_n\}$ 单调递减有下界，故收敛。取 $\xi=\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n$ 。
由于 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0$ ，有 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\xi$ 。
由于 $\{b_n\}$ 单调减， $\{a_n\}$ 单调增，有 $\xi$ 为 $\{b_n\}$ 的下确界， $\{a_n\}$ 的上确界，
从而对任意 $n\in\N^*$ ，均有 $\xi\in[a_n,b_n]$ 。存在性得证。
设 $\xi'$ 满足 $\forall n\in\N^*$ ，有 $\xi'\in[a_n,b_n]$ 。则对任意 $n\in\N^*$ ，有 $b_n\ge \xi'$ 。
从而由保号性，有 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n\ge \xi'$ ，即 $\xi\ge \xi'$ 。
同理 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n\le\xi'$ ，即 $\xi\le\xi'$ 。故 $\xi'=\xi$ ，唯一性得证。
综上，有且仅有唯一的 $\xi\in\R$ 使得对任意的 $n\in\N^*$ 均有 $\xi\in[a_n,b_n]$ 。证毕。
回到原题。由于数列有界，必然存在 $M\gt 0$ ，对任意 $n\in\N^*$ ，有 $a_n\in[-M,M]$ 。
我们记 $p_1=-M, q_1=M, n_1=1$ 。
由于有无穷多个 $n\gt n_1$ 使得 $a_n\in[p_1,q_1]$ ，可以得到以下两者中至少一条成立：
①有无穷多个 $n\gt n_1$ 使得 $a_n\in[p_1,\frac{p_1+q_1}{2}]$ ；
②有无穷多个 $n\gt n_1$ 使得 $a_n\in[\frac{p_1+q_1}{2},q_1]$ 。
若前者成立，则取 $p_2=p_1,q_2=\frac{p_1+q_1}{2}$ ；否则，取 $p_2=\frac{p_1+q_1}{2},q_2=q_1$ 。
然后取 $n_2\gt n_1$ 使得 $a_{n_2}\in[p_2,q_2]$ 。
由于有无穷多个 $n\gt n_1$ 使得 $a_n\in[p_2,q_2]$ ，必然有无穷多个 $n\gt n_2$ 使得 $a_n\in[p_2,q_2]$ 。
再用类似的方法，可以取得 $n_3\gt n_2$ ， $[p_3,q_3]\subseteq [p_2,q_2]$ ，
此时 $a_{n_3}\in[p_3,q_3]$ ，且存在无穷多个 $n\gt n_3$ ，使得 $a_n\in[p_3,q_3]$ 。
重复操作，可以得到 $\{a_n\}$ 的子列 $\{a_{n_k}\}$ 。
而由引理，有且仅有唯一的 $\xi\in\R$ ，使得对任意的 $n\in\N^*$ ，有 $p_n\le \xi\le q_n$ ，
由于 $a_{n_k}\in[p_k,q_k]$ ，有 $|a_{n_k}-\xi|\le q_k-p_k$ 。
而按照上述取法，总有 $q_{k+1}-p_{k+1}=\frac{q_k-p_k}{2}$ ，归纳可得 $q_k-p_k=M\cdot 2^{-k+2}$ 。
从而对任意 $k\in\N^*$ ，有 $|a_{n_k}-\xi|\le M\cdot 2^{-k+2}$ 。
对任意 $\varepsilon\gt 0$ ，取 $K=\lceil\log_2 \frac{M}{\varepsilon}\rceil+2$ ，当 $k\gt K$ 时，
有 $-k+2\lt-K+2=-\lceil\log_2\frac{M}{\varepsilon}\rceil\le-\log_2\frac{M}{\varepsilon}$ ，
从而 $|a_{n_k}-\xi|\le M\cdot 2^{-k+2}\lt M\cdot\frac{\varepsilon}{M}=\varepsilon$ 。
由 $\varepsilon$ 的任意性与极限的定义，知 $\displaystyle\lim_{k\to\infty}a_{n_k}=\xi$ 。
从而我们找到了 $\{a_n\}$ 的一个收敛子列 $\{a_{n_k}\}$ 。证毕。
这一结论被称为Bolzano-Weierstrass定理，又称列紧性原理。由于它仅仅是给出“存在一个子列收敛”，而并没有给出具体的子列，它更多还是用于作为证明时的辅助构造工具，而非直接用于完成计算和证明。
由Bolzano-Weierstrass定理，可以得到一些有用的定义，如极限点和上下极限，不过在此不会作详细讨论。
只有这些还是不够。单调收敛原理仅仅适用于单调数列，而Bolzano-Weierstrass定理根本不是用于判断原数列的收敛性。我们能否只使用数列各项之间的关系，来判断数列的收敛性呢？
想象一下，当数列不断往一个数逼近的时候，充分大的项与极限不能偏离太远，从而它们彼此之间也不会有很大的差距。于是我们给出如下的定义：
若对任意 $\varepsilon\gt 0$ ，均存在 $N\in\N^*$ ，当 $n\gt N$ 时，对任意的 $p\in\N^*$ ，有 $|a_{n+p}-a_n|\lt\varepsilon$ ，则称 $\{a_n\}$ 为一个Cauchy基本列，简称基本列。
这个定义意味着，从 $\{a_n\}$ 任意挑两个下标充分大的项，它们的差总是会趋近 $0$ 。凭直觉，我们觉得这样的数列是收敛的。果真如此吗？我们有如下定理：
定理：一个实数列是基本列当且仅当其收敛。
证明：先证充分性。
若 $\{a_n\}$ 收敛， $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=L$ ，
则对任意 $\varepsilon\gt 0$ ，存在 $N\in\N^*$ ，使得 $n\gt N$ 时， $|a_n-L|\lt\varepsilon$ 。
从而对任意 $p\in\N^*$ ， $n+p\gt n\gt N$ ，
从而 $|a_{n+p}-a_n|\le|a_{n+p}-L|+|a_n-L|\lt\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$ 。
故由定义， $\{a_n\}$ 为基本列。充分性得证。
再证必要性。我们先证 $\{a_n\}$ 有界。
由基本列定义，存在 $N\in\N^*$ ，当 $n\gt N$ 时，对任意 $p\in\N^*$ ，有 $|a_{n+p}-a_n|\lt1$ 。
我们取 $M=\max\{|a_1|,|a_2|,\cdots,|a_N|,|a_{N+1}|+1\}$ 。
则显然对任意 $n\le N+1$ ，有 $|a_n|\le M$ 。
当 $n\gt N+1$ 时，记 $n=(N+1)+p$ ，则 $p\in\N^*$ 。
从而 $|a_n-a_{N+1}|\lt 1$ ，故 $|a_n|\le |a_n-a_{N+1}|+|a_{N+1}|\lt|a_{N+1}|+1\le M$ 。
综上，对任意 $n\in\N^*$ ，有 $|a_n|\le M$ ，故 $\{a_n\}$ 有界。
由Bolzano-Weierstrass定理， $\{a_n\}$ 存在收敛子列 $\{a_{n_k}\}$ 。
记 $\displaystyle\lim_{k\to\infty}a_{n_k}=L$ 。
则对任意 $\varepsilon\gt 0$ ，存在 $K\in\N^*$ ，当 $k\gt K$ 时，有 $|a_{n_k}-L|\lt\frac\varepsilon2$ 。
而由基本列的定义，存在 $N\in\N^*$ ，当 $n\gt N$ 时，对任意 $p\in\N^*$ ，总有 $|a_{n+p}-a_n|\lt\frac\varepsilon2$ 。
令 $K'=\max\{K,N\}+1$ ，显然 $n_{K'}\ge K'\gt N$ ，
从而对任意 $p\in\N^*$ ，有 $|a_{n_{K'}+p}-a_{n_{K'}}|\lt\frac{\varepsilon}2$ 。
而 $K'\gt K$ ，从而 $|a_{n_{K'}}-L|\lt\frac\varepsilon2$ 。
从而对任意 $p\in\N^*$ ，有 $|a_{n_{K'}+p}-L|\le|a_{n_{K'}+p}-a_{n_{K'}}|+|a_{n_{K'}}-L|\lt\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon$ 。
即对任意 $n\gt n_{K'}$ ，有 $|a_n-L|\lt\varepsilon$ 。
由 $\varepsilon$ 的任意性与极限的定义，有 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=L$ ，即 $\{a_n\}$ 收敛。证毕。
上述定理被称为Cauchy收敛准则。它给出了一种很好的，只依赖于数列各项自身的判断数列收敛性的方法。对于不单调又难以确定其极限的数列，Cauchy收敛准则极为常用。
下面我们给出一个经典问题的两种解法。
例10 （讲义例1.2.18）设 $a_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}$ ，证明 $\{a_n\}$ 发散。
通过观察，我们发现其中连续若干项的和很容易累积到 $\frac{1}{2}$ 。更具体地说，总是有
$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}\ge\frac{1}{2}$ 。
这样我们有两种思路：一是对项进行分组，每组的和都大于 $\frac12$ ，总共有无穷多组，故数列无界，必发散；二就是我们刚刚提到过的Cauchy收敛准则。
解：（方法1）无界数列必发散，从而我们只需要证明数列无界。
注意到 $a_n\ge a_{2^{\lfloor\log_2n\rfloor}}\ge1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{2^{\lfloor\log_2n\rfloor}}=\frac{\lfloor\log_2n\rfloor}{2}+1$ ，
对任意 $M\gt 0$ ，取 $n=2^{2\lfloor M\rfloor}$ ，则 $a_n\ge\frac{2\lfloor M\rfloor}{2}+1\gt M\gt0$ ，
从而 $\{a_n\}$ 无界，必然发散。
（方法2）我们使用Cauchy收敛准则。
对于任意 $N\in\N^*$ ，考虑 $n=p=N+1$ ，
则 $|a_{n+p}-a_n|=\frac{1}{N+2}+\frac{1}{N+3}+\cdots+\frac{1}{2N+2}\ge\frac{N+1}{2N+2}=\frac{1}{2}$ 。
从而其不满足Cauchy基本列的定义，故发散。
上面的这个数列被称为调和级数。后面我们还会多次碰到，认识到它的更多性质。
在进行接下来的讨论之前，我们先要做一些铺垫。
关于发散数列，我们已经有了不少讨论。从前面，我们看出发散数列包括以下两种：全部的无界数列，以及一些有界但不断振荡的数列（如前面提到的 $\{(-1)^n\}$ 与 $\{\sin n\}$ ）。
回顾无界数列的定义（就是把有界数列的定义反过来）：对任意 $M\gt 0$ ，总存在 $n\in\N^*$ ，使得 $|a_n|\gt M$ 。
然而，即便是无界数列，依然可能存在振荡。
比如说，我们考虑 $a_n=\begin{cases}0,&n=2k+1\\n,&n=2k\end{cases}$ ，这个数列显然是无界的。然而，这个数列总是有充分大的项取值为 $0$ 。这就导致它也不会有特别好的，接近收敛数列的性质。
我们希望：对一些特殊的发散数列，能够使用类似收敛数列的方法去研究。这样的数列不仅要无界，而且对充分大的下标，项的绝对值也充分大。于是我们给出如下定义：
若对任意 $M\gt 0$ ，存在 $N\gt 0$ ，当 $n\gt N$ 时，有 $|a_n|\gt M$ ，则称 $\{a_n\}$ 发散到无穷大，又称数列趋于无穷大，记作 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\infty$ ，或记作 $a_n\to\infty(n\to\infty)$ 。
若对任意 $M\gt 0$ ，存在 $N\gt 0$ ，当 $n\gt N$ 时，有 $a_n\gt M$ ，则称 $\{a_n\}$ 发散到正无穷大，又称数列以正无穷大为极限、数列趋于正无穷大，记作 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=+\infty$ ，或记作 $a_n\to+\infty(n\to\infty)$ 。
若对任意 $M\gt 0$ ，存在 $N\gt 0$ ，当 $n\gt N$ 时，有 $a_n\lt -M$ ，则称 $\{a_n\}$ 发散到负无穷大，又称数列以负无穷大为极限、数列趋于负无穷大，记作 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=-\infty$ ，或记作 $a_n\to-\infty(n\to\infty)$ 。
发散到正（或负）无穷大的数列一定发散到无穷大，但反之不然，如 $\{n(-1)^n\}$ 发散到无穷大，但不发散到正无穷大或负无穷大。
发散到无穷大的数列一定无界，但反之不然，如前述例子 $a_n=\begin{cases}0,&n=2k+1\\n,&n=2k\end{cases}$ 。
类比关于收敛数列的单调收敛定理，我们可以得到一个关于发散到无穷大的数列的结论：
定理：若 $\{a_n\}$ 单调增且无界，则 $\{a_n\}$ 发散到正无穷大。
证明：我们先证 $\{a_n\}$ 无上界。
否则，设 $M$ 为 $\{a_n\}$ 的上界，由于 $\{a_n\}$ 单调增，必有 $a_1\le a_n\le M$ 。
从而对任意 $n\in\N^*$ ，有 $|a_n|\le\max\{|a_1|,M\}$ ，进而 $\{a_n\}$ 有界，矛盾！
故假设不成立，即 $\{a_n\}$ 无上界。
对任意 $M\gt 0$ ，设 $a_N\gt M$ ，则对任意 $n\gt N$ ，由于单调性，有 $a_n\ge a_N\gt M$ 。
由定义， $\{a_n\}$ 发散到正无穷大。证毕。
Bolzano-Weierstrass定理也可推广到发散到无穷大的数列，在此不作详细讨论。
最后，我们定义无穷大量和无穷小量，后续会用到这一定义：
若 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\infty$ ，则称 $n\to\infty$ 时， $\{a_n\}$ 是无穷大量；若 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0$ ，则称 $n\to\infty$ 时， $\{a_n\}$ 是无穷小量。