物理 [栖岸计划]1.2 数列极限（2）
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理论上，知道了极限的定义之后，我们就可以通过定义来判断数列是否收敛，收敛数列的极限是多少。但是，一方面，定义比较复杂，判断步骤较多；另一方面，使用定义时，需要先猜测一个极限的值，再将每一项与之作差取绝对值。因此，我们需要极限的性质，以更好地进行判断。一些简单的性质如下：
性质1（唯一性）：收敛数列的极限唯一。
证明：假设 $a, b$ 均是数列 $\{a_n\}$ 的极限， $a \neq b$ 。我们取 $\varepsilon=\frac{|a-b|}{2}\gt 0$ ，
则 $\exists N_1\in\N^*, \forall n \gt N_1, |a_n-a|\lt\frac{|a-b|}{2}$ ；
$\exists N_2\in\N^*, \forall n \gt N_2, |a_n-b|\lt\frac{|a-b|}{2}$ 。
两式相加，得 $|a_n-a|+|a_n-b|\lt|a-b|$ 。
但由三角不等式， $|a_n-a|+|a_n-b|=|a-a_n|+|a_n-b|\ge |(a-a_n)+(a_n-b)|=|a-b|$ ，矛盾！
故假设不成立，即收敛数列的极限唯一。证毕。
这条性质看似不太重要，实际上很基础。如果唯一性不满足，我们求数列的极限时，哪怕求出了一个极限，也还要去检验其他数是否也有可能是极限。唯一性则保证了这种情况不会出现。
性质2：改变数列有限项，不改变其收敛性与极限。
证明：改变有限项不影响 $n$ 充分大时各项的趋势，从而不改变收敛性与极限。
这点算是极限仅仅由 $n$ 充分大的情况决定的一个具体体现。
性质3（有界性）：若 $\{a_n\}$ 收敛，则 $\exists M\gt 0$ ， $\forall n \in \N^*$ ， $|a_n|\le M$ 。
证明：记 $\displaystyle\lim_{n\to \infty}a_n=L$ 。则 $\exists N\in \N^*, \forall n \gt N, |a_n-L|\lt 1$ 。
从而 $n\gt N$ 时，有 $|a_n|=|(a_n-L)+L|\le |a_n-L|+|L|\lt 1+|L|$ 。
故我们取 $M=\max\{|a_1|, |a_2|, \cdots, |a_N|, 1+|L|\}$ ，对任意 $n\in \N^*$ ，必有 $|a_n|\le M$ 。证毕。
我们称满足 $\exists M\gt 0$ ， $\forall n \in \N^*$ ， $|a_n|\le M$ 的数列为有界数列。上述性质说明，收敛数列必然是有界数列。但反之，有界数列未必是收敛数列。例如， $a_n=(-1)^n$ 是有界数列，因为 $\forall n \in \N^*, |a_n|\le 1$ ；但接下来我们会证明，这一数列发散（即不收敛）。
通过这一性质，我们可以得到：无界数列必然发散。例如，数列 $a_n=n$ 是发散的，因为其无界。这也是我们讲到的第一种证明数列${\displaystyle}$发散的方法。
性质4（保号性）：1) 若收敛数列 $\{a_n\}$ 满足 $l\lt \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n$ ，则 $\exists N \in \N^*, \forall n \gt N, a_n\gt l$ 。特别地，若 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n\gt 0$ ，则 $\exists N\in \N^*, \forall n \gt N, a_n\gt 0$ 。
2) 若收敛数列 $\{a_n\}$ 满足 $\exists N\in \N^*, \forall n \gt N, a_n\ge l$ ，则 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n\ge l$ 。
（这里的不等号均可以同时切换方向，证明方法完全相同，略去）。
证明：1）记 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=L$ ，则 $L\gt l, L-l\gt 0$ 。
故 $\exists N\in \N^*, \forall n \gt N, |a_n-L|\lt L-l$ 。
从而 $l-L\lt a_n-L\lt L-l$ ，得 $l\lt a_n\lt 2L-l$ 。证毕。
2）假设 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n\lt l$ ，记 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=L$ ，则 $l-L\gt 0$ 。
从而 $\exists N'\in \N^*, \forall n\gt N', |a_n-L|\lt l-L$ 。
从而 $L-l\lt a_n-L\lt l-L, a_n\lt l$ 。
我们取 $n\gt \max\{N, N'\}$ ，一方面， $n\gt N, a_n\ge l$ ；另一方面， $n\gt N', a_n\lt l$ 。矛盾！
故假设不成立，原命题正确。
保号性本身对判断收敛性和求极限的作用不是那么大。更常用的场景还是：若极限为正，则从某一项开始，数列全为正数；或者，若 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=L\gt 0$ ，则对充分大的 $n$ ，有 $a_n\gt\frac{L}{2}$ 。有时可以利用这一点进行一些巧妙的构造。
在前面进行了这么多铺垫之后，我们终于要得到一种不必直接使用定义去求极限的方法：极限的四则运算法则。
由于很多复杂的表达式都可以拆成简单的表达式的四则运算，如果我们能得到极限的四则运算法则，结合容易直接得出的简单极限，我们就可以更轻松地推出一些复杂的极限表达式。
性质5（极限的四则运算法则）：设 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=A$ ， $\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=B$ 。
1） $\{a_n+b_n\}$ 收敛，且 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=A+B$ ；
2） $\{a_nb_n\}$ 收敛，且 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_nb_n=AB$ ；
3）若 $\forall n\in \N^*$ ，有 $b_n\neq 0$ ，同时 $B\neq 0$ ，则 $\{\frac{1}{b_n}\}$ 收敛，且 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{b_n}=\frac{1}{B}$ 。
证明：1）任取 $\varepsilon \gt 0$ 。
由极限的定义， $\exists N_1 \in \N^*, \forall n \gt N_1, |a_n-A|\lt \frac{\varepsilon}{2}$ ；
$\exists N_2\in \N^*, \forall n \gt N_2, |b_n-B| \lt \frac{\varepsilon}{2}$ ；
取 $N=\max\{N_1, N_2\}$ ，则 $\forall n \gt N$ ，有
$|(a_n+b_n)-(A+B)|=|(a_n-A)+(b_n-B)|\le |a_n-A|+|b_n-B|\lt\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$ 。
由极限的定义， $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=A+B$ 。证毕。
2）任取 $\varepsilon \gt 0$ 。
对于任意的 $n \in \N^*$ ，有
$|a_nb_n-AB|=|a_nb_n-a_nB+a_nB-AB|\le |a_n(b_n-B)|+|B(a_n-A)|=|a_n||b_n-B|+|B||a_n-A|$ 。
由极限的概念，存在 $N_1\in \N^*$ ，当 $n\gt N_1$ 时，有 $|a_n-A|\lt\frac{\varepsilon}{2|B|}$ ；
由于 $\{a_n\}$ 收敛，其必有界，设 $\forall n \in \N^*, |a_n|\le M$ ，
由极限的概念，存在 $N_2\in \N^*$ ，当 $n\gt N_2$ 时，有 $|b_n-B|\lt\frac{\varepsilon}{2M}$ 。
取 $N=\max\{N_1, N_2\}$ ，则当 $n \gt N$ 时，有
$|a_nb_n-AB|\le |a_n||b_n-B|+|B||a_n-A|\lt M\cdot\frac{\varepsilon}{2M} + |B|\cdot \frac{\varepsilon}{2|B|}=\varepsilon$ 。
由极限的定义，有 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_nb_n=AB$ 。证毕。
3）我们不妨设 $B\gt 0$ 。
由于 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=B$ ，且 $B\gt\frac{B}{2}\gt 0$ ，
由保号性，必然 $\exists N_1\in \N^*$ ，当 $n\gt N_1$ 时，有 $b_n\gt\frac{B}{2}$ ，
从而 $\frac{1}{|b_nB|}\lt\frac{2}{B^2}$ 。
任取 $\varepsilon \gt 0$ ，存在 $N_2\in \N^*$ ，当 $n \gt N_2$ 时，有 $|b_n-B|\lt\frac{B^2\varepsilon}{2}$ 。
设 $N=\max\{N_1, N_2\}$ ，当 $n \gt N$ 时，
$|\frac{1}{b_n}-\frac{1}{B}|=\frac{|B-b_n|}{|b_nB|}=\frac{|b_n-B|}{|b_nB|}\lt\frac{2}{B^2}\cdot\frac{B^2\varepsilon}{2}=\varepsilon$ 。
由极限的定义， $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{b_n}=\frac{1}{B}$ 。
类似地，当 $B\lt 0$ 时，同样可以证明 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{b_n}=\frac{1}{B}$ 。证毕。