物理 [栖岸计划]1.1 实数
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上一节：无
关于实数是什么，讲义中用了十进制小数进行初步的解释。不过我坚定地认为，十进制小数并不是一种很好的实数表示方式。原因有三：
①小学生的死亡之问：$0.\dot{9}$ 和 $1$ 是否相等？（这个问题我们放在第十四章解释）
②为什么非得是十进制？你是不是看不起二进制，三进制，……？
③我们考虑小数的运算。对于有限小数来说，我们可以从它们的最低位开始运算。对于无限循环小数来说，我们可以将其化为有理数（虽然我们并没有证明这一点）。但对于无限不循环小数，定义运算就变成了一件很困难的事情。
鉴于看这个帖的人，应该能对实数有一些基本的认识，这里就不对这些东西做解释了。如果有人要刨根问底，问“实数到底是什么”，或者强行要求解释上述小学${\displaystyle}$生死${\displaystyle}$亡之问，我就只好告诉他 $\R=C(\mathbb Q)/\sim$ ，其中 $C(\mathbb Q)=\{x\in \mathbb Q^\infty~|~x$是柯西列$\}$ ，然后罚他自己去看第十四章。（讲义第十四章把 $C(\mathbb Q)$ 写作 $\Re$ ，但这个符号并没有什么统一的标准，写成 $C(\mathbb Q)$ 似乎更容易看出其本质）作为第一章第一节，这里也没必要再讨论下去了。
这一节主要是准备性工作，所以有大量概念和结论的罗列。不建议跳过，因为这里的东西到后面都要用到。
实数有一条重要的性质：完备性公理。表述如下：
若 $A,B\subseteq \R$ ，且 $\forall a\in A, ~b\in B$ ，均有 $a\le b$ ，那么存在 $c\in\mathbb R$ ，使得对任意的 $a\in A, ~b\in B$ ，有 $a\le c\le b$ 。
记住这条公理，后面要考。
有理数在实数集内具有稠密性：
若 $a, b\in \R$ ， $a \lt b$ ，则 $\exists c\in \mathbb Q$ ，使得 $a\lt c\lt b$ 。
证明依旧等到第十四章。
实数与直线上的点一一对应，由此，我们有了数轴的概念，并据此引入了绝对值：
$|a|=\begin{cases}a, &a\ge 0\\-a, &a\lt 0\end{cases}$ 。
绝对值满足如下几条性质：
①正定性： $|a|\ge 0$ ，取等当且仅当 $a=0$ ；
②对称性： $|a-b|=|b-a|$ ；
③三角不等式： $|a|+|b|\ge |a+b|$ 。
这三条性质也是定义“距离”的三个要素。后面在引入 $\R^n$ 之后，我们会对此有更深刻的认识。
在实数集上，我们可以定义一些特殊的子集（以下均有 $a\lt b$ ）：
闭区间： $[a,b]=\{x\in\R~|~a\le x\le b\}$ ；
开区间： $(a,b)=\{x\in\R~|~a\lt x\lt b\}$；
半开半闭区间： $(a,b]=\{x\in\R~|~a\lt x\le b\}$ ， $[a,b)=\{x\in\R~|~a\le x\lt b\}$ ；
无穷区间： $(a,+\infty)=\{x\in\R~|~x\gt a\}$ ， $[a, +\infty)=\{x\in\R~|~x\ge a\}$ ，
$(-\infty,a)=\{x\in\R~|~x\lt a\}$ ， $(-\infty,a]=\{x\in\R~|~x\le a\}$ ，
$(-\infty,+\infty)=\R$ （这个记号基本不会用，但我们也确实认为它是区间）。
此外，为了后续概念的引入，我们定义邻域与去心邻域：
$N(x_0,\delta)=\{x\in\R~|~|x-x_0|\lt \delta\}$ ，
$N^\circ(x_0,\delta)=\{x\in\R~|~0\lt |x-x_0|\lt\delta\}=N(x_0,\delta)\setminus\{x_0\}$ 。
铺垫工作已经完成，下一节开始，就将正式进入高数的内容了。