物理

[TINY NSD]实数集有多少个？（二）

（上接：[TINY NSD]实数集有多少个？）

大多数相关的介绍文章讲到这里就结束了。然而就我看来，关于自然数只定义这么多内容是不够的，因为我们还没有规定怎样记自然数。

我们现在只能把自然数写成${0, S(0), S(S(0)), \cdots}$这显然不适合实际的应用。

因此，我们还要再补充一些其他的内容。

首先补充乘方的定义。

①${\forall n \in \mathbb{N}且n \neq 0，n^0=1}$；

②${\forall n \in \mathbb{N}且n \neq 0，0^n=0}$；

③${\forall a, b \in \mathbb{N}}$且${a \neq 0}$，${a^{S(b)}=a^b \times a}$。

此时，我们可以得到以下三条性质：

性质1：若${a与b \times c不同时为0}$，则${a^{b+c}=a^b \times a^c}$。

证明：条件意味着所有的乘方都有意义。

若${a=0}$，则${a^{b+c}=0=0 \times 0=a^b \times a^c}$；

若${a \neq 0}$，用数学归纳法证明：

当${c=0}$时，${a^{b+0}=a^b=a^b \times S(0)=a^b\times a^c}$；

假设${c=k}$时成立，则${a^{b+S(k)}=a^{S(b+k)}=a^{b+k}\times a=(a^b \times a^k) \times a}$

${=a^b\times (a^k \times a)=a^b \times a^{S(k)}}$。

归纳即证。

性质2：若${a与b \times c不同时为0}$，则${(a^b)^c=a^{b\times c}}$。

证明：条件意味着所有的乘方都有意义。

若${a=0}$，则${a^{b \times c}=0=0^c=(a^b) ^c}$；

若${a \neq 0}$，用数学归纳法证明：

当${c=0}$，${a^{b \times 0}=a^0=S(0)=(a^b)^0}$，成立；

假设${c=k}$成立，则${a^{b \times S(k)}=a^{b \times k+b}=a^{b \times k} \times a^b}$

${=(a^b)^k\times a^b=(a^b)^{S(k)}}$。

归纳即证。

性质3：若${a \times b与c不同时为0，则a^c \times b^c=(a \times b)^c}$。

证明：若${a \times b=0}$，不妨设${a=0}$，则

${a^c\times b^c=0 \times b^c=0=(0 \times b)^c}$；

否则，仍然使用归纳法：

${c=0}$时，${a^c \times b^c=S(0) \times S(0)=S(0)=(a \times b)^c}$；

${c=k}$成立时，${a^{S(k)}\times b^{S(k)}=(a^k \times a) \times (b^k \times b)=(a^k \times b^k) \times (a\times b)}$

${=(a\times b)^k \times (a \times b)=(a \times b)^{S(k)}}$。

归纳即证。

除此以外，还有几点值得说明：

①${\forall a \neq 0或S(0), a^b=a^c当且仅当b=c}$。

证明：充分性显然，只证必要性。

假设${b \neq c}$，不妨设${c \leq b}$，则设${b=c+k}$。

从而${a^c=a^{c+k}=a^c \times a^k}$，由消去律，必有${a^c=0}$或${a^k=S(0)}$。

[引理]若${a \neq 0}$，则${a^c \neq 0}$。

证明：归纳法，当${c=0}$时，${a^c=S(0) \neq 0}$；

假设${c=k}$时成立，则${a^{S(k)}=a^k \times a}$，

由前面已经证明的结论，由于${a \neq 0}$，${a^k \neq 0}$，必有${a^{S(k)} \neq 0}$。

归纳即证。

回到原题。由引理，必有${a^k=S(0)}$。

若${k \neq 0}$，设${k=S(m)}$，则${a^m \times a=S(0)}$。

由此前证明的结论，${a=S(0)}$，与条件矛盾！

故${k=0}$，从而${b=c+0=c}$，与${b \neq c}$矛盾！

②${\forall a \neq 0或S(0), a^b \leq a^c当且仅当b \leq c}$。

证明：先证充分性，设${c=b+k}$，

则${a^c=a^b \times a^k}$，又${a \neq 0}$，

故${a^k \neq 0}$，即${S(0) \leq a^k}$，

而${a^b \neq 0}$，从而${a^b=a^b \times S(0) \leq a^b \times a^k=a^c}$。

再证必要性。假设${b \leq c}$不成立，则必有${c \leq b}$，

从而由充分性，${a^c \leq a^b}$，必有${a^b=a^c}$。

由①得${b=c}$，这与假设矛盾！故${b \leq c}$。

综上，${\forall a \neq 0或S(0), a^b \leq a^c当且仅当b \leq c}$。证毕。

③${若c \neq 0，则a^c=b^c当且仅当a=b}$。

证明：充分性显然。下面归纳证明必要性。记${c=S(n)}$。

[引理]若${a \leq b且c \neq 0}$，则${a^c \leq b^c}$。

证明：归纳证明，${c=S(n)}$。

当${n=0}$时，${a^c=a \leq b=b^c}$；

若${n=k}$时成立，则${a^{S(S(k))}=a^{S(k)} \times a\leq b^{S(k)} \times a}$

${\leq b^{S(k)} \times b=b^{S(S(k))}}$。归纳即证。

回到原题。当${n=0}$时，${a=a^c=b^c=b}$；

假设${n=k}$时成立，考虑${n=S(k)}$：

我们不妨设${a \leq b}$。

若${b=0}$，则${a^c=b^c=0}$，由前面的结论，必有${a=0=b}$。

否则，${b^{S(k)} \times b=b^{S(S(k))}=a^{S(S(k))}=a^{S(k)} \times a \leq b^{S(k)} \times a}$，

而${b \neq 0}$，故${b^{S(k)} \neq 0}$。由不等式性质2，得${b \leq a}$。

又${a \leq b}$，故${a=b}$。归纳即证。

④${若c \neq 0，则a^c\leq b^c当且仅当a \leq b}$。

证明：充分性即为③引理，已证；下证必要性。

假设${a \leq b}$不成立，则${b \leq a}$，由充分性，有${b^c \leq a^c}$，

故${a^c=b^c}$，从而由③，有${a=b}$，矛盾！

从而假设不成立，即${a \leq b}$。证毕。

接下来，我们需要引入两个重要的定理：

1）${\forall a, b \in\mathbb{N}且a \neq 0，\exists 唯一的c \in \mathbb{N}, a \times c \leq b \leq a \times S(c)-S(0)}$。

证明：记${S=\lbrace n | b \leq a \times n-S(0) \rbrace}$，

由于${a \neq 0, 必有S(0) \leq a}$，从而${n-S(0)=S(0) \times n-S(0) \leq a \times n-S(0)}$，

取${n=S(b)}$，则${b=n-S(0) \leq a \times n-S(0)}$。从而${S(b) \in S}$。

由$\leq$的良序性，${\exists k \in S, \forall l \in S, k \leq l}$。

又${a \times n-S(0)}$有意义，从而${S(0) \leq a\times n，即a \times n \neq 0}$。

故${0 \notin S}$，从而${\exists S(c) \in S,\forall l \in S, S(c) \leq l}$。

此时必有${S(c) \in S, 即b \leq a \times S(c)-S(0)}$；

${c\notin S}$, 需分两种情况讨论：

①若${c=0}$，显然${a \times c \leq b}$；

②若${c \neq 0}$，则${a \times c-S(0) \leq b且a \times c-S(0) \neq b}$。

由此前早已推导过的结论（推导序关系时的引理3），${a \times c=(a \times c-S(0))+S(0)=S(a\times c-S(0)) \leq b}$。

从而我们构造出了符合题意的$c$。下面只需证明其唯一性。

否则，设${c_1 \neq c_2}$符合条件，不妨设${c_1 \leq c_2}$，则

${a\times c_2 \leq b \leq a \times S(c_1)-S(0) \leq a \times S(c_1)}$。

从而${c_2 \leq S(c_1)}$，而${c_1 \leq c_2且c_1 \neq c_2}$，

故${S(c_1) \leq c_2}$，从而${c_2=S(c_1)}$。

于是${a \times c_2 \leq a \times c_2-S(0)}$，矛盾！

故这样的$c$是唯一的。证毕。

2）${\forall a, b \in\mathbb{N}且a \neq 0或S(0)，b \neq 0，\exists c \in \mathbb{N}，a^c \leq b \leq a^{S(c)}-S(0)}$。

证明：[引理]${\forall a, b \in \mathbb{N}且a \neq 0或S(0)，a\times b \leq a^b}$。

证明：当${b=0}$时，原式即为${0 \leq S(0)}$，显然成立；

当${b=S(0)}$时，原式即为${a \leq a}$，显然成立；

假设${b=S(k)}$时成立，考虑${b=S(S(k))}$时：

${a\times S(S(k))=a \times S(k)+a \leq a \times S(k)+a \times S(k)=(a \times S(k))\times S(S(0))}$

${\leq(a \times S(k)) \times a \leq a^{S(k)} \times a=a^{S(S(k))}}$。

归纳即证。

回到原题，令${S=\lbrace n | b \leq a^n-S(0)}$，

则由上题结论，${\exists n \in \mathbb{N}，b \leq a \times n-S(0)\leq a^n-S(0)}$。

从而${S \neq \varnothing}$，故${\exists k \in S，\forall l \in S, k \leq l}$。

而${b \neq 0}$，故${S(0) \leq a^n-S(0)}$，即得${0 \notin S}$。

故${\exists S(c) \in S, \forall l \in S, S(c) \leq l}$。

则${b \leq a^{S(c)}-S(0)}$。

又${c \notin S}$，则${a^c-S(0) \leq b且a^c-S(0) \neq b}$，即${a^c \leq b}$。

（这里为什么没有分类讨论了呢？因为总有${S(0) \leq a^c}$。）

证明唯一性的方法与1）类似，不多赘述。即证。

现在我们来讨论自然数的记号问题。

首先，我们将${S(0)}$记作1；

然后，定义任何一个不为${0或1}$的数为基数，记作10。若选取的基数是$k$，那么我们称为$k$进制。

可能有人听过一个段子叫做“Every base is base 10（所有进制都是10进制）”，其实就是这个意思。因为基数永远叫做10。

由2），${\forall n \in \mathbb{N}且n \neq 0，\exists k \in \mathbb{N}，10^k \leq n \leq 10^{k+1}-1}$，

由1），${\exists l \in \mathbb{N}，l \times 10^k \leq n \leq (l+1) \times 10^k-1}$。

显然${1 \leq l \leq 10-1}$。

我们称${n_0=n, a_0=l}$，并如此定义递推数列：

${n_{m+1}=n_m-a_m\times 10^{k-m}}$；

${a_m满足a_m \times10^{k-m} \leq n_m \leq (a_m+1) \times 10^{k-m}-1}$。

如此直至${n_k}$与${a_k}$。

然后，我们从左往右书写${a_0, a_1, \cdots, a_k}$，连成一串，理论上就得到了所有非0自然数的记法。

特别地，1的记法仍是1，10的记法仍是10。

当然，目前还存在最后一个问题，就是我们的${a_0, a_1, \cdots, a_k}$总是在0到10-1之间，这些数怎么办？

为此，我们需要专门规定它们的记号。但是，这时候记号规定就依赖于10的选取了。

最常见的进制是${S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(0))))))))))}$进制，原因稍后会解释。

我们做这样的规定：

${2=S(1),3=S(2), 4=S(3), 5=S(4), 6=S(5), 7=S(6), 8=S(7), 9=S(8)}$。

这样，对于所有的自然数，我们都可以用一种简洁明了的方式，定义它的记号。

比如说大家熟知的恶臭数字，用这样的记号，可以非常简洁地写成114514，

但你用S套着S的那种写法试试？反正我不想试，因为这篇文章篇幅不够。

当然，直到这里，数字依然是一个抽象的东西，它和生活有什么关系？

这里就涉及到计数。

对于某个集合，如果其与集合${\lbrace a \in \mathbb{N} | S(a) \leq b}$存在一一对应，那么我们称这个集合的元素个数为$b$。

例如，如果我有苹果甲，苹果乙，苹果丙，它们构成的集合就与${\lbrace a \in \mathbb{N} | S(a) \leq 3}$存在一一对应，

于是我们说这些苹果构成的集合的元素个数是3，简称，有3个苹果。

对于空集，我们说它的元素个数是0。

例如，如果一件事情没有人在意，那么在意的人构成的集合就是空集，元素个数是0，简称，0人在意。（是的，说的就是你，某个我不想点名的人）

再说回到人类为什么要用${S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(0))))))))))}$进制。

因为人类发现，绝大多数人自己手上的手指构成的集合的元素个数是这个丑陋的数字。

为了看着好看，也为了平常方便，他们把这个数定义为10。

为什么计算机要用${S(S(0))}$进制？

因为计算机常见的电路状态构成的集合的元素个数是这个数，于是它们把这个数定义为10。

关于自然数的内容，到此就告一段落了。我们从无到有地发明出了数字这种东西。