物理

[TINY NSD]实数集有多少个？

前置知识：Nature佬传奇帖子自然数集是自然数吗？

本帖会在其基础上将数的范围扩展到实数

为表尊重，本帖中涉及Peano公理的内容将会称为Nature公理

别笑，我们高中班上一个姓卞的同学被老师叫上黑板推导阿氏圆，然后我们老师就管阿氏圆叫卞氏圆了

参考资料：程艺《数学分析讲义》第一册、第三册；2025年9月15日与17日程艺在科大授课的内容；来自网上的一些搜索；当然，最重要的，自己的一些思考（程艺书上一堆定理没证）

第一节 自然数

引言：《道德经》曰：“道生一，一生二，二生三，三生万物。”这句话很适合于对后世自然数的定义的理解——如果我们把“道”理解成$\varnothing$的话。Nature公理体系给出了对自然数集性质的一种刻画，但正因为这一特性，其对我等萌新来说并不十分友好。为此，Nature的帖子中提出了更直观的定义，不过冯·诺依曼比Nature抢先了100年（笑）。有了自然数的定义之后，我们又定义了加减乘除四则运算（虽然我们发现此时减法和除法常常没有意义）。然后，利用Nature公理，我们完成了小学二年级就学过的交换律、结合律和分配律的证明。

前置的知识不再重复，我们从最终Nature留下的自然数的定义开始看：

${0=\varnothing}$

${1=\lbrace \varnothing \rbrace=\lbrace 0 \rbrace}$

${2=\lbrace \varnothing, \lbrace \varnothing \rbrace\rbrace=\lbrace 0, 1 \rbrace}$

……

当然，我们看上面的内容，自然能理解自然数的概念，但是这样的描述还是不严谨的，毕竟，我们只列出了0，1，2，后面的数呢？

通过观察，我们发现自然数集的定义中最核心的一点：

①${若a \in \mathbb{N}，则a \cup \lbrace a \rbrace \in \mathbb{N}}$。

但是只有这一句核心是远远不够的。比如说，空集显然满足①，但我们肯定不能说空集是自然数集。此外，集合${\lbrace 1, 2, ... \rbrace}$也满足条件，但我们同样不能说是自然数集。所以，我们还需要补充其他的内容。

②${\varnothing \in \mathbb{N}}$。

如此就回避了上面的一系列问题。不过，还是不够。所有的自然数都在里面了，但如果我们在里面塞一个奇怪的东西呢？

比如，如果我们把一个苹果放在$\mathbb{N}$里面，会发生什么？

我们会发现，这个苹果会给自然数集添加无穷多的新元素，但是并不会与上述两条构成矛盾！

可是这个苹果是怎么来的？还不是我们硬塞的！没有实际意义！

所以，我们可以再补一条：

③若${a \in \mathbb{N}且a \neq \varnothing}$，则${\exists b \in \mathbb{N}，a=b \cup \lbrace b \rbrace}$。

这样我们确保了，除了一开始的$\varnothing$，我们没办法把任何其他奇奇怪怪的东西硬塞到自然数集里面。

所以，我们就得到了自然数集的一种刻画：

①${若a \in \mathbb{N}，则a \cup \lbrace a \rbrace \in \mathbb{N}}$；

②${\varnothing \in \mathbb{N}}$；

③若${a \in \mathbb{N}且a \neq \varnothing}$，则${\exists b \in \mathbb{N}，a=b \cup \lbrace b \rbrace}$。

这在论坛是Nature的伟大发现，不过正如本章引言说的，被冯·诺伊曼抢先了。大家知道冯·诺伊曼或许仅仅是因为计算机，然而这一对自然数的刻画也是他的贡献。

满意了吗？还是没有！因为我们注意到，里面出现了${a \cup \lbrace a \rbrace}$这样的东西，这是啥玩意？

我们发现，这样的规定好像不是必须的！换成别的奇奇怪怪的构造，除了一些微调之外，似乎没有任何影响！

那我们为啥不用更加一般的表示方法？

所以，对①②两条，我们可以有更一般的表达：

1）${0 \in \mathbb{N}}$；

2）${若a \in \mathbb{N}}$，则我们可以定义$a$的后继数${S(a)}$，使${S(a)\in \mathbb{N}}$。

不过我们发现，这样就不能直接套用③来防止“硬塞”的现象了。

为什么呢？考虑这样的定义：如果我们规定${S(0)=0}$，那么${\lbrace 0 \rbrace}$也成为自然数集了，这显然不对！

所以，对于0，我们可以加特殊的限定：

3）${\forall a \in \mathbb{N}，S(a)\neq 0}$。

但是类似的问题依然存在。如果我们令${S(0)=S(1)=1}$，那么集合${\lbrace 0, 1 \rbrace}$也符合上述三条，但同样不是自然数集。

为此，除了3）之外，我们还需要有一条4）：

4）${\forall a, b \in \mathbb{N}，S(a)=S(b)当且仅当a=b}$。

其实3）与4）本质接近，都是为了避免出现循环。只不过由于0的特殊性，我们需要把3）从4）中独立出来，这样才算严谨。

看起来，我们已经修补完了把②一般化带来的问题。不过当我们准备把③抄下来的时候，却发现，还是不对！

比如，我们总可以定义${a_0 \ne 0，且S(a_n)=a_{S(n)} \ne S(n)}$。

同时，我们又定义${b_0=a_0，且S(b_{S(n)})=b_n}$。

现在，如此定义自然数集${\mathbb{N}}$：

①${0 \in \mathbb{N}}$，${a_0 \in \mathbb{N}}$；

②${若n \in \mathbb{N}，则S(n) \in \mathbb{N}}$；

③${若b_n \in \mathbb{N}，则b_{S(n)} \in \mathbb{N}}$。

我们惊奇地发现，这样定义出来的自然数集居然不违背1）~4），并且除了0以外，每个数都是别的数的后继！

问题出在哪里呢？还是拿苹果打比方。

如果说一个苹果${=a \cup \lbrace a \rbrace}$，这显然是荒谬的；

但如果说一个苹果是别的东西的后继，我们居然找不出任何问题！

所以归根到底，原始③的调整还是跟②的一般化挂钩。

于是，为了更进一步避免任何混进自然数里的“杂质”，我们可以使用一个更一般的限制：

5）若${S \subseteq \mathbb{N}}$，且${S}$满足性质1）2），那么${S=\mathbb{N}}$。

这样就可以把其他杂质的路全都锁死了。

我们前面一直用到“杂质”一词，但始终没有明确的定义，这点很难深究，因为我们的工具太过稀少，很多东西没法精确定义。

但可以肯定的是，现在的自然数集中不会出现一些莫名其妙的“苹果”，

否则把它们都去掉，只剩下0，S(0)，...之后，得到的集合仍满足1）2），这会与5）矛盾。

就这样，我们得到了用于规范自然数的五条公理。

实际上，这也正是数学家Peano所作出的发现，甚至比冯·诺伊曼还要早30余年。1）~5）一般也被称作Peano公理，不过正如前面提到的，我们会称它为Nature公理。

自然数有了，接下来我们需要什么？

两件事：一，大于和小于，我们管这叫序关系；二，加减乘除，我们管这叫四则运算。

直接从大小于入手似乎有些困难，我们先归纳定义加法：

①${\forall n \in \mathbb{N}，n+0=n}$；

②${\forall a, b \in \mathbb{N}, a+S(b)=S(a+b)}$。

有了加法，我们就可以着手证明我们熟悉的结合律和交换律了。

等一下！为什么结合律在前，交换律在后？

看看证明过程就知道了。

首先，我们要引入一个重要的工具：数学归纳法。

若关于自然数的命题${P(n)}$满足以下两个条件：

1）${P(0)}$为真；

2）若${P(n)}$为真，则${P(S(n))}$为真。

则${\forall n \in \mathbb{N}, P(n)}$为真。

证明：记${S=\lbrace n \in \mathbb{N}|P(n)为真\rbrace}$。

则${S \subseteq \mathbb{N}}$, ${0 \in S}$, 且若${n \in S，总有S(n) \in S}$。

由Nature第五公理，${S=\mathbb{N}}$，即${\forall n \in \mathbb{N}}$，${P(n)}$为真。

证毕。

由此，我们可以开始结合律的证明。

结合律：${\forall a, b, c \in \mathbb{N}，a+(b+c)=(a+b)+c}$。

证明：当${c=0}$时，${a+(b+c)=a+(b+0)=a+b=(a+b)+0=(a+b)+c}$，成立。

假设${c=k}$时成立，考虑${c=S(k)}$：

${a+(b+S(k))=a+S(b+k)=S(a+(b+k))=S((a+b)+k)=(a+b)+S(k)}$，成立。

由数学归纳法，${\forall a, b, c \in \mathbb{N}}$，${a+(b+c)=(a+b)+c}$。证毕。

交换律的证明略为复杂，需要用到三次数学归纳法：

交换律：${\forall a, b \in \mathbb{N}，a+b=b+a}$。

（人机违禁词判定射皇了）

证明：当${n=0}$时结论显然。

假设${n=k}$成立，则${0+S(k)=S(0+k)=S(k)=S(k)}$。

由数学归纳法，引理1得证。

[引理2]${\forall a, b \in \mathbb{N}，a+S(b)=S(a)+b}$。

证明：${b=0}$时，${a+S(b)=a+S(0)=S(a+0)=S(a)=S(a)+0}$，成立。

假设${b=k}$时成立，则${a+S(S(k))=S(a+S(k))=S(S(a)+k)=S(a)+S(k)}$，成立。

由数学归纳法，引理2得证。

回到原题。当${b=0}$时，由引理1，总有${a+0=a=0+a}$，成立。

假设${b=k}$时成立，则${a+S(k)=S(a+k)=S(k+a)=k+S(a)=S(k)+a}$（由引理2）。

由数学归纳法，${\forall a, b \in \mathbb{N}}$，加法交换律成立。证毕。

此外，我们还需要说明加法的一条重要性质（消去律）：

${a=b}$当且仅当${a+c=b+c}$。

证明：必要性显然。下只需证充分性。

当${c=0}$时显然成立。

假设${c=k}$时成立，考虑${a+S(k)=b+S(k)}$：

由加法的定义与Nature第四公理，${S(a+k)=a+S(k)=b+S(k)=S(b+k)}$，从而${a+k=b+k}$。

由归纳假设，必有${a=b}$。

综上，若${a+c=b+c}$，则${a=b}$，充分性证毕。

为什么说这条性质很重要呢？因为定义减法时需要用到。

我们以减法作为加法的逆运算，前提是得到的结果是唯一的。而由上面的性质，可以得到一个推论：

${\forall a, b \in \mathbb{N}}$，至多存在一个自然数$k$，使得${a+k=b}$。

证明：反证法，假设${\exists k_1, k_2 \in \mathbb{N}}$且${k_1\neq k_2}$，使得${a+k_1=a+k_2=b}$：

由加法交换律，${k_1+a=a+k_1=a+k_2=k_2+a}$，

由上述性质即得${k_1=k_2}$，矛盾！故原命题得证。

据此，我们引入减法的定义：

${对自然数a, b，若\exists k \in\mathbb{N}使a+k=b，则称a \leq b，并记k=b-a}$。

序的定义也在这里完成了。

我们先研究序，再研究加减混合运算：

性质：自然数集上的序${\leq}$是一种良序关系，即满足以下四点：

1）${对a, b \in \mathbb{N}，若a \leq b且b \leq a，则a=b}$；

2）${对a, b, c \in \mathbb{N}，若a \leq b且b \leq c，则a\leq c}$；

3）${\forall a, b \in \mathbb{N}，要么a \leq b，要么b \leq a}$；

4）${\forall S \subseteq \mathbb{N}且S \neq \varnothing，\exists a \in S, \forall b \in S，a \leq b}$。

证明：1）[引理1]${\forall n\in \mathbb{N}且n \neq 0，\exists m \in \mathbb{N}，n=S(m)}$。

证明：定义集合${S=\lbrace n \in \mathbb{N}|n=0或\exists m\in \mathbb{N}, n=S(m) \rbrace}$，

则${0 \in S}$，且若${k \in S, S(k) \in S}$。

由Nature第五公理，必有${S=\mathbb{N}}$，

即${\forall n \in \mathbb{N}，n=0或\exists m \in \mathbb{N}, n=S(m) }$。证毕。

则${a=b+k_2=(a+k_1)+k_2=a+(k_1+k_2)=(k_1+k_2)+a}$。

又${a=0+a}$，故由消去律，${k_1+k_2=0}$。

假设${k_2 \neq 0}$，则${\exists m \in \mathbb{N},k_2=S(m)}$，

则。