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数学

全国第十，保送清华姚班，5千字长文分享自己的数竞学习之路（二）

原创 | 唐旌凯

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02  学习方法

最重要的最先说：一定要有一颗做第一的心。不要沉迷于与同学的讨论中，在实力与思考不到位时那往往就是变向地颓废，浪费时间。

刷书的时候一定要自己一道一道地做，不要跳例题。往往一本书最精华的部分就在它的例题。

做题一定要自己多思考，不要一两个小时做不出来就去看答案（初学时除外，那个时候应该优先搭建基础）。仅仅记答案是没有用的，只有思考与理解才可以提升实力。建议大家准备本子记录自己做的题与方法，以防以后忘了。

外出培训就是外出做题，好的教练就是可以找到好题的教练。好题才是最根本的，一定要有拒绝题目的能力，觉得题目大概率对自己帮助不大就把它跳掉（同理也要有拒绝外出培训的能力）。AOPS（直接搜AOPS即可）是一个很好的网站，上面几乎可以找到你想要的的所有赛题。

一定要学会整理。课上直接整理笔记其实效果并不好，其实那就是默写或是听写。课后建议会在笔记本上抄上自己觉得有启发的题目，再结合记忆理解重新做一遍。考试时的错题也要重做，这样会理解得更深刻。建议整理用笔记本，感觉更流畅，错题用活页本，更容易整理。

最后在分版块之前再聊一下大家耳熟能详的几套书：

《奥数教程》个人很推荐初学者看，建议从高三开始倒着看，大概看到高二解析几何就可以了，理解了的话对于实力很有帮助。前面想看就看。

《研究教程》其实数论和几何比较简单，代数都是朴素方法，个人而言比较喜欢，它的精华在于组合，尤其是图论，一道一道做下来理解了竞赛范围内大部分图论都没有问题了。

小蓝本系列如果要看的话建议就看4、5、6、7、10、13就可以了，但是总体难度不是很大（学长评价CMO难度），如果有一定实力并期望提升的同学可以不用看了。

《命题人讲座》系列主要是拓展视野，十分推荐《初等数论》，这本做完数论也基本没问题了，另外如果还想看的话推荐《解析几何》与《集合与对应》，这两本书很提高思维层次。

《奥赛经典》系列个人并不推荐，上面的题目良莠不齐，做了之后最大的好处就是时常可以看到自己做过的题，成为同学眼里的中华题库。如果想做的话建议就在没题的时候当题集做。

两本PFTB（problems from thebook与proofs from the book）没事可也看着玩玩。

其实做题没必要一系列一系列地做，当你认为自己有一定水平的时候就可以做真题了。同时在学完一轮以后就可以看一点大学的书了，你会发现不少题目都有高等背景。 

 一试 

一试没啥好说的，跟着学校教练一起练，整理错题，调整状态，一试就可以考好了。 

 代数 

相信大家先学的肯定是不等式。我觉得不等式先学均值和柯西对于初学者是十分不友好的（当然显然的均值柯西一定要会），我当时就十分不理解均值柯西为什么要这样那样地配系数，学得一头雾水，感觉自己的不等式简直是没救了。

我个人而言觉得初学者最该掌握的应该是暴力方法——即展开与调整（调整的应用范围更广），一是机械简单可谓通法，大多数不等式都可以这样做出来，可以增加自信心。二是可以熟悉代数结构，提高代数素养。你通过这样几个月的展开调整之后代数水平也上来了，这时候再去看均值柯西，大概自己也可以理解一点它的想法了，也可以自己运用了。可以看看《不等式的秘密》，上面有许多想法。

其实数列题目本质上并不是数列题目，只是披了一层数列的皮。把其他方面掌握好了自然也就好了。

多项式也不用刻意练，它是一个很综合的内容，当你水平提升时多项式水平也会提升。

  几何 

其实几何是几个板块里最不看天分的板块，可以通过积累与练习慢慢地抬上来。初学时随便找本教材先熟悉基本定理再自己做题即可。几何水平上来以后不要沉迷于做几何题，但也要保持手感，一天一道即可，长时间不做几何会导致几何水平断崖式下滑（惨痛的教训）。

平时做题时应多想几何法培养几何直觉，但不要鄙视并一定要掌握计算方法（复数，三角，重心坐标等），只要能做出题的方法就是好方法。三角方法的到处都有讲，但是我至今没有看到什么详细讲复数计算的书，如果想知道复数方法就自己问学长把。

重心坐标在一些题目中有奇效，如纯几何吧镇吧神题“根轴IG”就可以用重心坐标快速解决。如果想学习的话《中等数学》2017年第2期李朝晖老师的《基于重心坐标系的平面几何证明的探讨》写的很不错。（《中等数学》可以订着，没事的时候看着玩玩。）

如果没题做可以上纯几何吧，上面不少题都有TST难度。  数论 数论打基础的话就做之前给大家说的那些书就可以了。数论一定要学会“黑科技”，不要怕使用高级定理，能做就做，能用就用。学有余力时可以看看潘承洞，潘承彪老师的《初等数论》以及PFTB。 组合 组合其实也不用特别刻意的练，因为在各个板块的难题中或多或少地都会用到组合思想。数学归纳法一定要熟练掌握，掌握了之后很大一部分题目（不限于组合）都可以做出来了。

竞赛内的组合恒等式其实几乎有通法，你只需在等式两边乘上变量再对角标求和即可（如下图）。其实这就是幂级数求和，建议要掌握简单函数的泰勒展开（如果有余力也建议掌握傅里叶展开，在一些题目中有奇效）。

组合几何只需熟练掌握海莱定理以及基本组合技巧几何知识就可以做出竞赛中大部分组合几何题目。竞赛中的图论其实一大部分都可以使用数学归纳法。如果想要提高自己的图论水平的话建议去看《图论导引》（2019联赛第四题关键引理就是其中某一章习题），不用看《命题人讲座》的《图论》，上面的内容基本上在《图论导引》中都有讲。 

不知不觉又说了这么多，希望能对大家有帮助。