关于渐开线运动的疑惑

  6  936   1  4年前回复


  1. 问题:如何导得M点的沿径向向外的加速度? (此时有P的速度大小不变。) 2.M点是绳与圆柱的接触点。图放不上来,见谅。

那就是这样了,绳子转动角速度ω=v/l,角加速度β=dω/dt=v/l^2×dl/dt

而dl/dt=Rdθ/dt=Rω=vR/l

所以β=v^2×R/l^3

对绳子分析可得角加速度来源于aM径与aP切的差值,而aP切=0

所以aM径=βl=v^2×R/l^2

我之前的分析错在哪,待查= =


 

!!!!!!!!!!!!


 

!!!!!!!!!!


 

上图= = 手机有问题上不了……M 点是接触点。


 

圆柱上绕着一根绳的那道题? 对的


 
6楼
edited 4年前

设MP=l,P点速度为v,在dt极短时间内P点转过角度dθ=vdt/l -<1>

dt时间后接触点为N,原M点在圆柱上位置为M'

展开的绳长增量dl=Rdθ=vRdt/l - <2>

∵dt极短

∴展开的圆弧可以看做直线

∴MNM'构成等腰三角形,MN=M'N=dl

易知∠MNM'=dθ,又因为dθ为小角

∴MM'=dl×dθ=v^2×R/l^2×dt^2 -<3>

又因为dt极短,M的运动可看成匀加速直线运动

所以MM'=1/2a×dt^2 -<4>

比较<3><4>得a=2v^2×R/l^2

凑合着看吧,电脑没法发图,基本思路就是疯狂微元


 

题选上的结果是R*v^2/l^2 但它没有推导过程

设MP=l,P点速度为v,在dt极短时间内P点转过角度dθ=vdt/l -<1>

dt时间后接触点为N,原M点在圆柱上位置为M'

展开的绳长增量dl=Rdθ=vRdt/l - <2>

∵dt极短

∴展开的圆弧可以看做直线

∴MNM'构成等腰三角形,MN=M'N=dl

易知∠MNM'=dθ,又因为dθ为小角

∴MM'=dl×dθ=v^2×R/l^2×dt^2 -<3>

又因为dt极短,M的运动可看成匀加速直线运动

所以MM'=1/2a×dt^2 -<4>

比较<3><4>得a=2v^2×R/l^2


 
9楼
edited 4年前

之前那个貌似是因为近似级数的问题 作加速运动那段应该是dθ*dl/2

那就是这样了,绳子转动角速度ω=v/l,角加速度β=dω/dt=v/l^2×dl/dt

而dl/dt=Rdθ/dt=Rω=vR/l

所以β=v^2×R/l^3

对绳子分析可得角加速度来源于aM径与aP切的差值,而aP切=0

所以aM径=βl=v^2×R/l^2

我之前的分析错在哪,待查= =


 
10楼
edited 4年前

之前那个貌似是因为近似级数的问题 作加速运动那段应该是dθ*dl/2

那就是这样了,绳子转动角速度ω=v/l,角加速度β=dω/dt=v/l^2×dl/dt

而dl/dt=Rdθ/dt=Rω=vR/l

所以β=v^2×R/l^3

对绳子分析可得角加速度来源于aM径与aP切的差值,而aP切=0

所以aM径=βl=v^2×R/l^2

我之前的分析错在哪,待查= =

MM'=dl×dθ是没有错的,如图,微线元MM'可近似为圆弧,再根据弧度的定义就可以得到


 
11楼
edited 4年前

@konglongdou【关于第一种方法中出的纰漏】要乘的角其实是你用的那个的一半,你看一下图


 

懂了,谢谢老师~

@konglongdou【关于第一种方法中出的纰漏】要乘的角其实是你用的那个的一半,你看一下图