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【答疑补充】关于p级数与交错p级数的一些常见结论

在前两日复赛班与决赛班课程当中，有不少同学问到了形如1+1/2^3+1/3^3+...的级数，由于这类级数的具体求解较为复杂，答疑中我们建议同学们记忆一些常见的结果即可，这里给大家列出常见并可能遇到的结果如图。 图中已经告诉大家，这类级数源于reimann zeta函数，当其中的z取实数时被称为p级数，p取不同的值即可通过计算得出上面相应的公式。数学上，ζ函数在z的实部大于1时级数是收敛的。从而对于p级数来说，p>1时级数收敛。根据交错级数的性质，p>1时交错p级数也是收敛的。 不过，具体的收敛值并非都易求。当p是正偶数的时候，p级数和是有精确表达式的（含有伯努利数），收敛值往往带有π^p，而当p不是正偶数的时候级数和并没有精确表达式，正如图片中p=3给出的结果是ζ(3)，只能给出一个近似值。 另外，在图片最开头告诉了大家欧拉级数是发散的，但是它与ln n同阶，也就是欧拉级数减去ln n（n→∞）等于欧拉常数γ。 欧拉级数与其他reimann zeta函数的具体证明与求解需要用到复变函数的知识，这已经很大程度上超过同学们应该掌握的知识范围，因此大家不必纠结于这些公式的证明，也不必为了这一个小的细节去花费较多时间学习数理方法的相关内容（学过的dalao自行无视），记下常用结果与以上提到的简单性质就肯定够用了~ 如果还有其他疑问，请在帖内提问或者单独开帖提问。注意开帖标题加注“有求必应”才能保证得到回答哦~