常微分算符

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常微分算符

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质心儿子 更新于2022-11-21 00:08:34

众所周知, y的导数记作$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx} y $。那么,我们想到将$\frac{d}{dx}$视为一个算符,作用在y上,记作$D = \frac{d}{dx}$ ,称为常微分算符。为什么有“常”?为了凑满5个字和“偏”相区分。但是这里不涉及“偏”,故略作微分算符。自然而然,积分算符是$\frac{1}{D}$。$\frac{y}{D} = \int ydx$

既然是算符,则不满足交换结合律。但是满足分配律之类。

$D(uv) = u(Dv) + (Du)v \neq (Du)v$

$uDv = Duv$

$Du + Dv = D(u+v)$

$Du + ku = (D+k) u$

$0/D = C \neq 0$

需要知道,微积分算符存在一些缺陷。看下面这个例子。

例1: 众所周知,$Dy = dy/dx$是导数。所谓二阶导,就是导数的导数,即$D(Dy) = D^2 y = \frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx}) = d^2y/dx^2$(其中,dx看做一个整体)。但是有同学认为,利用商函数的求导法则,$D(u/v) = (uDv-vDu)/(Dv)^2$,这里令u=dy, v=dx, 二阶导应为$\frac{dyDdx-dxDdy}{dx^2}$ 。。。此同学一直认为他是对的,因为我们前面说到微积分算符不满足结合律,他认为不能直接将二阶微分算符写作$D^2$,必须用商函数求导法则。

这个问题此处从略,欢迎在评论区里讨论。我们先继续介绍微积分算符。了解了微积分算符以后,或许会有答案。


那么微积分算符有什么用呢?一般地,我们解微分方程的方法是“凑全微分”(猜)。这里介绍的微分算符,也是猜,不过是更高级的、更普适的猜。

微积分算符有一条重要性质:

$(D - \lambda) f(x) = e^{\lambda x} D (e^{-\lambda x}f(x))$

$\frac{1}{D-\lambda}f(x) = e^{\lambda x} \int e^{-\lambda x} f(x)dx$

上述公式较为容易凑出。至于此公式的应用,由例题给出。

例2: 求解常微分方程$\frac{dy}{dx}-3y = 0$。

先写成$(D-3)y = 0$,移项得$y = \frac{0}{D-3} = e^{3x} \int e^{-3x} \cdot 0 dx = Ce^{3x}$,其中C为任意常数。$y=Ce^{3x}$即为通解。

练1:求解常微分方程$\frac{dy}{dx}-6y=e^{6x}$。(不要忘记加上积分常数C哦~)

例3: 求解常微分方程$\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} - 2y = 0$。

先写成$(D^2 y + D y -2 y) = 0$,然后提出y后移项。$y=\frac{0}{D^2+D-2}$。但这里有二次方项,不能直接利用公式。怎么办呢?

因式分解!$D^2+D-2 = (D-1)(D+2) , y = \frac{1}{D-1}\frac{1}{D+2} 0 = \frac{1}{D-1} e^{-2x} \int e^{2x} 0 dx = \frac{1}{D-1}Ce^{-2x} = e^x \int C e^{-x} e^{-2x} dx = e^x (-1/3 Ce^{-3x}+C') = C_1 e^{-2x} + C_2 e^x$ .

一般地,会有一个将$D^2 + aD + b$变为$(D-\lambda_1)(D-\lambda_2)$的过程。会对应一个方程$\lambda^2 + a\lambda + b = 0$,称为特征根方程。此方程的两个根$\lambda_1 , \lambda_2$称为特征根

练2: 求解常微分方程$\frac{d^2y}{dx^2} -5 \frac{dy}{dx} + 6 y = 0$。

练3: 求解常微分方程$\frac{d^2y}{dx^2} -2 \frac{dy}{dx} + y = 0$

那么,特征根方程无解的情况又会如何呢?

例4: $\frac{d^2y}{dx^2} + y = 0$

我们先写出了特征根方程$\lambda^2+1=0$,然后发现,这个方程无解

但是,这里所说的“无解”,是指没有实数根。实际上,这个方程有两个共轭复根:$\lambda_{1,2} = \pm i$。

$y = \frac{1}{D+i}\frac{1}{D-i}0 = \frac{1}{D+i}e^{ix} \int e^{-ix} 0dx = e^{-ix} \int e^{ix} C e^{ix}dx = e^{-ix} ((1/2i)Ce^{2ix}+C') = C_1 e^{ix} + C_2 e^{-ix}$ 。但是,注意到,我们既然扩展到复数域,那么积分常数也应是复数!$y = \widetilde C_1 e^{ix} + \widetilde C_2 e^{-ix}$。我们所希望得到的是实数通解,所以用欧拉公式$e^{ix} = i\sin x + \cos x$进行实部提取。于是得到通解$y = C_1 \sin x + C_2 \cos x$。这里$C_1 , C_2$是不同于$\widetilde C_1 , \widetilde C_2$的又一实常数。

练4:$\frac{d^2y}{dx^2} -2 \frac{dy}{dx} + 2y = 0$


关于二阶(最高阶的导数是2)线性(y及y的导数均为1次)齐次(除含y项以外只有0)常系数(y及y的导数的系数是常数)常(y是一元函数)微分方程的通解,见下表。

特征根通解
相异实根$\lambda_1,\lambda_2$$C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x}$
重根$\lambda$$C_1 e^{\lambda x} + C_2 x e^{\lambda x}$
共轭复根$\alpha \pm i\beta$$C_1 e^{\alpha x} sin \beta x + C_2 e^{\alpha x} cos \beta x$

To be continued...

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银空
1月前
码了好多
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银空
1月前

奖励丰富😍,我也弄一个

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soul
1月前

膜佬膜佬,我一直弄不太清楚微分方程猜解的基本想法,现在多少明白了,感谢感谢!

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质心儿子
1月前

物理范围内的微分方程都不太复杂,一般不会出现微分算符不适用的情况,所以微分算符简直就是切瓜切菜,乱杀。

2条评论
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我和质心儿子没关系!
12天前

果然没法比,达不到你那种程度。。zx-duxiaoyu1@2x

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质心儿子 回复 我和质心儿子没关系!
11天前

没事,慢慢学,以后应该会用到。

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蔡子星球
25天前
支持一下
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忘羡
12天前

真的很好用呢!期待后续!

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一只数竞牛马
6天前

收藏一下

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骰子同学
3天前
收藏,