物理

又是一道数学题🤓

主要难点在于证明这俩玩意是距离，对称性与非负性是显然的，难点在于三角不等式的证明。第一个应该是个比较著名的距离，但是我没见过，对两个0,1-序列X，Y定义第一个距离为$d(X,Y)$，如果有三个序列X，Y，Z，X与Z第i项不同当且仅当X与Y，Y与Z的第i项一个相同，一个不同，由此容易证明，$d(X,Z)\le d(X,Y)+d(Y,Z)$。第二个距离就是所谓的Hausdorff距离$d_H$，它是这样定义的，记$d(x,A)=min \{ |x-a| \mid a\in A \}$，那么$d_H(M,N)$就是大于等于任意$d(m,N)$与$d(n,M)$的最小非负实数，其中$m\in M$，$n\in N$。这玩意的证明有点抽象，我就不写了。

回到这道题，只要看到定义的叫“度量”，“距离”，之类的东西，要求它的范围，都可以想到三角不等式。至于构造，第一个距离从取等的角度就能解决，第二个距离从取等入手可以构造出1和5的情况，其他的从取等入手难以解决，于是我想的是为了使这个距离更简单，考虑一个集合的“平移”（就是所有元素加减一个数），这样集合就可以取剩余类，利用mod来调整集合间的距离。