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[论坛资料室]不会不等式的过来！🤓

以下是根据图片内容识别并整理的 LaTeX 排版题目。

不等式 1

不等式的性质与比较方法

一、实数运算性质与实数大小的关系

对于实数 $a, b$，有

$$

a - b > 0 \iff a > b, \quad a - b = 0 \iff a = b, \quad a - b < 0 \iff a < b.

$$

二、不等式的基本性质

以下各式中的字母均表示实数，附加条件见各条。

(1) 对称性：$a > b \iff b < a$。

(2) 传递性：$a > b, b > c \implies a > c$。

(3) 可性：$a > b \iff a + c > b + c$。

(4) 可乘性：

$$

a > b, c > 0 \implies ac > bc; \quad a > b, c < 0 \implies ac < bc.

$$

(5) 加法法则：$a > b, c > d \implies a + c > b + d$。

(6) 乘法法则：$a > b > 0, c > d > 0 \implies ac > bd$。

(7) 乘方法则：$a > b > 0 \implies a^n > b^n \ (n \in \mathbb{N}^*, n > 1)$。

(8) 开方法则：$a > b > 0 \implies \sqrt[n]{a} > \sqrt[n]{b} \ (n \in \mathbb{N}^*, n > 1)$。

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1 例题讲解

例 1 设 $a < b < 0$，给出下列不等关系：$\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$；$|a| > |b|$；$a^2 > b^2$。其中成立的是 \_\_\_\_\_\_。

例 2 设 $a > b > c > d > 0$，且 $x = \sqrt{ab} + \sqrt{cd}, y = \sqrt{ac} + \sqrt{bd}, z = \sqrt{ad} + \sqrt{bc}$，则 $x, y, z$ 的大小关系为 \_\_\_\_\_\_。

例 3 使不等式 $\sqrt{3} + \sqrt{8} > 1 + \sqrt{a}$ 成立的正整数 $a$ 的最大值是 \_\_\_\_\_\_。

例 4 已知二次函数 $f(x)$ 的图像过原点，且 $1 \le f(-2) \le 2, 3 \le f(1) \le 4$，求 $f(2)$ 的范围。

例 5 比较 $x^2 + y^2$ 与 $xy + x + y - 1$ 的大小，其中 $x, y \in \mathbb{R}$。

例 6 已知 $a, b, c, d > 0, A = a + d, B = b + c$，且 $a/b = c/d, a$ 是 $a, b, c, d$ 中最大的一个，试比较 $A$ 与 $B$ 的大小。

例 7 设 $a > 0, b > 0$，且 $a \neq b, m = a^a b^b, n = a^b b^a$，试比较 $m, n$ 的大小。

拓展题： 设 $a, b, c > 0$，且不全相等，试比较 $a^{2a}b^{2b}c^{2c}$ 与 $a^{b+c}b^{c+a}c^{a+b}$ 的大小。

例 8 设 $x, y$ 为实数，满足 $3 \le xy^2 \le 8, 4 \le x^2/y \le 9$，则 $x^3/y^4$ 的最大值是 \_\_\_\_\_\_。

例 9 设 $a, b, c, d > 0$，证明下列三个不等式至少有一个不正确：$a + b < c + d; \quad (a + b)(c + d) < ab + cd; \quad (a + b)cd < ab(c + d)$。

例 10 若 $a > 0, b > 0$，求 $\min_{a,b>0} \max \left\{ a, b, \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right\}$。

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2 习题演练

1. 设 $1 < x < 3, 5 < y < 7$，则 $x/y$ 的取值范围是 $\_\_\_\_\_\_$。

2. 已知 $a > b > c > 0, x = \sqrt{a^2 + (b+c)^2}, y = \sqrt{b^2 + (c+a)^2}, z = \sqrt{c^2 + (a+b)^2}$，则 $xy, yz, zx, x^2, y^2, z^2$ 中最小的是 \_\_\_\_\_\_。

3. 设 $0 < a < \frac{1}{2}$，则 $1-a^2, 1+a^2, \frac{1}{1-a}, \frac{1}{1+a}$ 按从小到大的顺序排列为 \_\_\_\_\_\_。

4. 设 $a, b, c \in \mathbb{R}$，则 “$a > 0, b > 0, c > 0$” 是 “$a+b+c > 0, ab+bc+ca > 0, abc > 0$” 成立的 \_\_\_\_\_\_ 条件。

5. 若 $a^{2009} < a^{2008} < a^{2010}$，则 $a$ 的取值范围是 \_\_\_\_\_\_。

6. 已知 $a > \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 且 $a \neq 1, x = |\log_a 2|, y = \log_{a+1} 2, z = \log_{a+2} 2$，则 $x, y, z$ 的大小顺序是 \_\_\_\_\_\_。

7. 已知 $a, b$ 为不相等的正数，且 $a < \sqrt{3}, b = \frac{a+3}{a+1}$，将 $\sqrt{3}, a, b, \frac{a+b}{2}$ 这四个数按从小到大的顺序排列应是 \_\_\_\_\_\_。

8. 若 $0 < b < a < \frac{1}{4}$，则 $a-b, \sqrt{a}-\sqrt{b}, \sqrt{a^2-b^2}$ 中最大的是 \_\_\_\_\_\_。

9. $\triangle ABC$ 的三边长 $a, b, c$ 满足 $b+c \le 2a, a+c \le 2b$，则 $b/a$ 的取值范围是 \_\_\_\_\_\_。

10. 已知 $a, b, c$ 为正数，$a^2 + b^2 = c^2$，当 $n \ge 3 \ (n \in \mathbb{N}^*)$ 时，比较 $c^n$ 与 $a^n + b^n$ 的大小。

11. 设 $f(x) = x^8 - x^5 + x^2 - x + 1$，证明：对任意实数 $x, f(x)$ 总是大于 $0$。

12. 证明：对任意正数 $x, y, z$，都有 $\sqrt{x + \sqrt[3]{y} + \sqrt[4]{z}} \ge \sqrt[32]{xyz}$。

13. 设对于 $k=1, 2, \dots, n$，存在实数 $x$ 满足如下不等式：$2^k < x^k + x^{k+1} < 2^{k+1}$，试求 $n$ 的最大值。

题意提示： 第 13 题按“存在同一个实数 $x$，使所有 $k=1, \dots, n$ 对应的不等式同时成立”理解。