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个人收藏数学题/引理

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Lm1.45 (内切圆弦上的直角)(伊朗) 设△ABC的内切圆在边BA,CA,AB上的切点分别为D,E,F，内切圆圆心是I。设M,N分别是BC,AC的中点。射线BI与直线EF相交于K。证明：(1)BK垂直于CK, (2)K在直线MN上。

(1)证明：令∠ABC=2α，∠ACB=2β

由∠AFE+∠AEF=∠ABC+∠ACB=2α+2β

且∠AFE=∠AEF

有∠AFE=∠AEF=α+β

⇒∠BKF=∠AFE-∠ABK=β=∠ACI

⇒C,K,E,I四点共圆

⇒∠CKI=∠CEI=90°

即BK垂直于CK  □

(2)证明：连接MK交AC于N'

由(1)结论显然有KM=BM=CM

则∠KMC=∠ABC=180°-4β=2α=∠ABC

⇒KM∥AB

又由MN∥AB

知N,N'重合

即M,N,K三点共线  □

一道题目  如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，M是BC的中点，P是AM上的任意一点。设BP关于AB的对称直线与直线AC和AM分别交于点T,Q。△BPQ,△ABC的外接圆交于点F。求证：△CFT的外心在BQ上。

证：

∠BPM=∠ABP+∠BAP=∠ABP+∠ABM=∠ABQ+∠ABM=∠QBM

∠BPM=∠BQP+∠QBP, ∠QBM=∠QBP+∠PBM

⇒∠PBM=∠BQP，则BC与(BPQ)相切于点B

∠FAC=∠FBC=∠FQB=∠FQT

⇒∠FQT+∠FAT=180°

⇒ATQF四点共圆

记O为△CFT外心

∠OTC=(180°-∠TOC)/2

=(180°-2(180°-∠TFC))/2

=∠TFC-90°=∠TFB

=∠TFA+∠AFB=∠TQA+∠ACB

=∠TQA+∠MAC=∠TQA+∠QAT

=∠BTA

⇒△CFT的外心在BQ上  □

Ex2.23(俄罗斯2010)

这题居然和我一样年龄🤔

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以下为解答

这是相当神奇的一道题。(很有俄罗斯数学竞赛的风格)