物理

[论坛资料室](低配版)另类的匀变速运动？揭示速度模度的通用公式！

1. 基本定义与微分方程建立

首先我们来处理一下已知条件哈😋😋😋

$A = \frac{dv}{dx} = \text{常数}$

根据链式法则，加速度 $a$ 可以表示为：

$a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = A \cdot v$😨

这个关于速度 $v$ 和位置 $x$ 的一阶线性微分方程就是贯穿我们整个问题的灵魂好吧🤓🤓🤓：

$\frac{dv}{dx} = A$

以及一个关于速度 $v$ 和时间 $t$ 的微分方程：

$\frac{dv}{dt} = Av$

当然设初始时刻 $t=0$ 时，物体的位置为 $x_0$，速度为 $v_0$👊😋

 2. 速度与位置的关系 $v(x)$

对 $\frac{dv}{dx} = A$ 进行积分：😨

$\int_{v_0}^{v} dv = \int_{x_0}^{x} A \, dx$

由于 $A$ 是常数，积分结果为：

$v - v_0 = A(x - x_0)$

整理得到速度与位置的线性关系🌚🌚🌚

$v = v_0 + A(x - x_0)$

3. 速度与时间的关系 $v(t)$

对 $\frac{dv}{dt} = Av$ 进行分离变量🌚并积分😨：

$\frac{dv}{v} = A \, dt $

$\int_{v_0}^{v} \frac{1}{v} \, dv = \int_{0}^{t} A \, dt$

$\ln v - \ln v_0 = At$

$\ln \left( \frac{v}{v_0} \right) = At$

然后我们就得到了速度随时间变化的指数规律☝️🤓：

$v(t) = v_0 e^{At}$

#注意：此处假设 $v_0 > 0$。如果你要考虑方向的话，那我们的一般形式为 $v(t) = v_0 e^{At}$，其中 $v_0$ 可正可负，但必须！必须保证运动过程中速度不穿过零点！（原因呢就是 $v=0$ 时 $\ln v$ 无定义，如果 $v$ 变号了的话，$A=dv/dx$ 的定义可能需要分段讨论或视为奇异点），不过我们通常假设初速度方向不变。

4. 位置与时间的关系 $x(t)$

已知 $v = \frac{dx}{dt}$，将 $v(t)$ 代入：

$\frac{dx}{dt} = v_0 e^{At}$

对时间 $t$ 积分：

$\int_{x_0}^{x} dx = \int_{0}^{t} v_0 e^{At} \, dt$

$x - x_0 = v_0 \left[ \frac{1}{A} e^{At} \right]_{0}^{t}$

$x - x_0 = \frac{v_0}{A} (e^{At} - 1)$

整理得到位置随时间变化的公式：♿♿♿♿

\$x(t) = x_0 + \frac{v_0}{A} (e^{At} - 1)$

5. 总结：运动学公式

$A = \frac{dv}{dx} = C$ 的直线运动，设 $t=0$ 时 $x=x_0, v=v_0$

1.  速度-位置关系：

    $v = v_0 + A(x - x_0)$

2.  速度-时间关系：

    $v = v_0 e^{At}$

3.  位置-时间关系：

    $x = x_0 + \frac{v_0}{A} (e^{At} - 1)$

4.  加速度-时间关系（由 $a=Av$ 导出）：

    $a = A v_0 e^{At}$

物理意义分析(来自我的物理老师🌚)

如果 $A\in 0$ 且 $v_0\in0$，物体做加速运动，速度和位置随时间呈指数增长。

如果 $A \en0$ 且 $v_0\en0$，物体做减速运动，速度随时间指数衰减趋于零，位置趋于极限值 $x_{\infty} = x_0 - \frac{v_0}{A}$。

这种运动不同于匀变速直线运动（加速度 $a$ 恒定），这里的加速度 $a$ 与速度成正比。