物理

1.单粒子问题

本帖属于合集《两体问题》

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正文：

研究二体问题，首先想到转化成单粒子问题的讨论

如图建立惯性系

首先考虑动能

体系动能：$T = \frac{1}{2}m_1\dot{\vec{r}}_{01}^2 + \frac{1}{2}m_2\dot{\vec{r}}_{02}^2$

势能分为外部势能和内部势能

势能$V = V^e + V^i$

$V^e$只与体系质心位置 $\vec{r}_{0c} = \frac{m_1\vec{r}_{01} + m_2\vec{r}_{02}}{m_1+m_2}$ 有关

$V^i$只与粒子相对位置 $\vec{r} = \vec{r}_{01} - \vec{r}_{02}$ 有关

故 $V = V^e(\vec{r}_{0c}) + V^i(\vec{r})$

取 $\vec{r}_{0c}$ 与 $\vec{r}$ 为广义坐标，则各粒子位置矢量表示为：

$\vec{r}_{01} = \vec{r}_{0c} + \frac{m_2}{m_1+m_2}\vec{r}$

$\vec{r}_{02} = \vec{r}_{0c} - \frac{m_1}{m_1+m_2}\vec{r}$

体系拉格朗日函数

$L = T - V = \frac{1}{2}m_1\left(\dot{\vec{r}}_{0c} + \frac{m_2}{m_1+m_2}\dot{\vec{r}}\right)^2 + \frac{1}{2}m_2\left(\dot{\vec{r}}_{0c} - \frac{m_1}{m_1+m_2}\dot{\vec{r}}\right)^2 - V^e(\vec{r}_{0c}) - V^i(\vec{r})$

整理后可分离为两部分：

$L = L_1(\dot{\vec{r}}_{0c}, \vec{r}_{0c}) + L_2(\dot{\vec{r}}, \vec{r})$

其中：

$L_1 = \frac{1}{2}(m_1+m_2)\dot{\vec{r}}_{0c}^2 - V^e(\vec{r}_{0c})$

$L_2 = \frac{1}{2}\mu\dot{\vec{r}}^2 - V^i(\vec{r})$

其中 $\mu = \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}$ 为二体约化质量

若选取质心系，设：

$\vec{r}_{01} = \vec{r}_{0c} + \vec{r}_1$

$\vec{r}_{02} = \vec{r}_{0c} + \vec{r}_2$

而 $\vec{r} = \vec{r}_{01} - \vec{r}_{02} = \vec{r}_1 - \vec{r}_2$，则有：

$\vec{r}_1 = \frac{m_2}{m_1+m_2}\vec{r}$

$\vec{r}_2 = -\frac{m_1}{m_1+m_2}\vec{r}$

所得动能相同。