物理

『栖岸计划』柯西不等式 Cauchy-Schwarz inequality

原式：$(\sum_{i=1}^nx_iy_i) ^2≤(\sum_{i=1}^nx_i^2)(\sum_{i=1}^ny_i^2)$，且仅在$x_i$与$y_i$成比例时等号成立。

展开写就是：$(a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n)^2≤(a_1^2+a_2^2+…+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+…+b_n^2)$

我们现在给出证明：

设函数$f_i(t)=x_i^2t^2+2x_iy_it+y_i^2=(x_it+y_i)^2$

显然$f_i(t)≥0$

⇒$f(t)=\sum{f_i(t)}=\sum(x_it+y_it)^2$的值恒大于0

∴$\Delta\leq0$，$b^2-4ac≤0$，$b^2≤4ac$

∴$4(\sum~x_iy_i)^2≤4(\sum~x_i^2)(\sum~y_i^2)$

两边的4约掉后即得到$(\sum_{i=1}^nx_iy_i) ^2≤(\sum_{i=1}^nx_i^2)(\sum_{i=1}^ny_i^2)$

等号成立即Δ=0，此时存在某一t值使函数值为0，也就是$x_it+y_i=0$

显然，在$x_i=y_i=0$时以及$t=-\frac{y_i}{x_i}$时函数值为0。

而$x_i=y_i=0$时此不等式毫无意义，∴此时t值应为$-\frac{y_i}{x_i}$

∴在$y_i$与$x_i$成比例时等号成立

证毕