物理

中值定理(2)

如果函数$f(x)$不满足罗尔定理(在上期有讲)中的条件$f(a)=f(b)$，那么由图可看到，当$f(a)≠f(b)$时，弦$AB$是斜线，此时在连续曲线$y=f(x)$上存在点$M(ξ，f(ξ))$，曲线在$M$点处切线的斜率为$f'(ξ)$，弦$AB$的斜率为f(a)-f(b)/b-a，因此$f'(ξ)=\frac{f(a)-f(b)}{b-a}$.我们有下面的定理:

拉格朗日中值定理  设函数$f(x)$满足条件:

(1)在闭区间$[a, b]$上连续；

(2)在开区间$(a,b)$内可导.

则至少存在一点$ξ∈(a,b)$，使得$f'(ξ)=\frac{f(a)-f(b)}{b-a}$         (3-1)

证明  利用罗尔定理来证明.

记$k=\frac{f(a)-f(b)}{b-a}$，则弦$AB$的方程为$y=f(a)+k(x-a)$，由于弦$AB$的端点与曲线$y=f(x)$的端点相重合，因此$f(x)$与$f(a)+k(x-a)$之差$F(x)=f(x)-[f(a)+k(x-a)]$满足$F(a)=F(b)=0$，根据罗尔定理，至少存在一点$ξ∈(a,b)$，使得$F'(ξ)=f'(ξ)-k=0$，即$f'(ξ)=\frac{f(a)-f(b)}{b-a}$.公式(3-1)对a>b也成立，我们把$f(a)-f(a)=f'(ξ)(b-a)$($ξ$在$a$与$b$之间)(3-2)

称为拉格朗日中值公式，它具有以下几种不同的变形:

令$a=x$，$b=x+Δx$，则式(3-2)可改写为$Δy=f(x+Δx)-f(x)=f'(ξ)Δx$($ξ$在$x$与$x+Δx$之间                     (3-3)

若将$ξ$表示为ξ=x+θΔx(0<θ<1)，则上式又可以写成$Δy=f'(x+θΔx)Δx$  (0<θ<1)                    (3-4)

显然，如果在拉格朗日中值定理中加上条件$f(a)=f(b)$，那么就成为罗尔定理，故拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广。