物理

一个数论的问题

物理区人比较多，在这里问一道数学题，致歉。

之前做到一道题，说素数p模4余1，a是正整数，满足$a\le \frac{p}{2}$且$p\mid 1+a^2$，定义序列$\{ x_n\}$：$x_0=p$，$x_1=a$，之后的项满足$x_n$是$x_{n-2}$除以$x_{n-1}$的余数，求证存在正整数$k$使得$p=x_k^2+x_{k+1}^2$。

看到的解答用的是连分数，但是对我来说还是太吃操作了，有没有什么简单好上手的方法?