物理

中值定理(1)

中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质与函数在该区间内某一点的导数之间的关系，中值定理既是用微分学知识解决应用问题的理论基础，又是解决微分学自身发展的一种理论知识模型，因而称为微分中值定理。

一、罗尔定理

  观察图3-1，

设函数$y=f(x)$在区间$[a,b]$上的图形是一条光滑曲线弧，这条曲线在区间$(a,b)$内每一点都存在不垂直于$x$轴的切线，且区间$[a,b]$的两个端点的函数值相等，即$f(a)=f(b)$，则可以发现曲线弧上最高点或最低点处，曲线有水平切线，即有$f'(ξ)$=0，如果用数学语言来描述这种几何现象，就可以得到下面的罗尔定理。

设函数$f(x)$满足条件

(1)在闭区间$[a,b]$上连续

(2)在开区间$(a,b)$内可导

(3)$f(a)=f(b)$

则至少存在一点$ξ∈(a,b)$，使得$f'(ξ)=0$

  罗尔定理的几何意义是：如果连续曲线$y=f(x)$在区间两个端点上的纵坐标相等，且除端点外处处有不垂直于x轴的切线，则在该此曲线弧上至少有一点，曲线在该点处的切线平行于x轴。

  值得注意的是，若$f(x)$不能同时满足以上三个条件，则结论不成立，也就是说罗尔定理的条件是充分的，但不是必要的。