物理 25联赛3
命题人讲座2.3例5：
$设正整数n,k，满足:3 \nmid n且k≥m$
$证明:存在n的一个倍数m，使得m在十进制表示下各个位数字之和等于k$
2题是小蓝本上的原题我就不发了，网上2题是原题吵得很火，3题却在吵很难，我只能说考前回归教材
证明：
$先考虑(n,10)=1,欧拉定理知10^{φ(n)}≡1(mod~n)$
$记φ(n)=d.于是对∀i,j∈\mathbb{N}_{+}，都有$
$10^{id+1}≡10^{jd+1}≡10(mod~n)$
$下面寻找u,v∈\mathbb{N}，s.t.u+v=k且n \mid u+10v$
$即n \mid k+9v.$
$注意到3 \nmid n，从而(n,9)=1$
$故k,k+9,…,k+9(n-1)遍历mod~n完系$
$所以∃v∈\{0,1,2,…,n-1\}，s.t.n \mid k+9v$
$令u=k-v∈\mathbb{N}_{+}.故存在这样的u,v$
$于是取正整数i_1 \gt i_2 \gt … \gt i_u，j_1 \gt j_2 \gt … \gt j_v(v=0则不取这样的j)$
$满足i_u\gt j_1d+1$
$令m=\sum^u_{l=1}10^{i_l·d+1}+\sum^v_{l=1}10^{j_l·d+1}$
$于是m是由u+v=k个1和若干个0组成的正整数$
$可知m≡u+10v≡0(mod~n)成立$
$再考虑(n,10) \gt 1，设n=2^α·5^β·p，α,β,p-1∈\mathbb{N},且(p,10)=1$
$由上知∃m∈\mathbb{N}_{+}，s.t.p \mid m且m在10进制下各个位数之和为k$
$令M=10^{max\{α,β\}}·m$
$就有n \mid M且M在十进制下各个位数之和为k$
$综上可知，命题成立！$
共1条回复
时间正序
许家印的商业帝国
1月前
其实也不是教材的事儿。数码和这几个考试中要用到的结论确实在竞赛中都出现过。
可能也不是所有人都注意了。
比如2006年的imo6,交替数那个题.做过那个这题大概率就能做出来，因为很多引理你都知道了。
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