数学

三角方程。

反三角函数与三角方程

零、前言

我们解过许许多多的方程，如：一元一次方程、一元二次方程。$我们解方程就是为了求出x的所有值$。

今天，我来讲讲三角方程

注意：观看此帖子的朋友们应学过反三角函数。如果没有的话，建议优先学习反三角函数。

指引：①若有问题，可以在问题楼提问，谢谢配合；

            ②若我发现与本帖相关且很有意思的题目，我会以“补充例题”的形式发在回复中。有兴趣的同学可以把答案发出来，练习练习；

            ③我会把例题的答案和解析单独发在一个楼里。

目录

第一部分 反三角函数

第二部分 三角方程

§第二部分 三角方程

一、三角方程

定义：含有未知数的三角函数方程叫做三角方程.

1.最简三角方程的解集

2.常见的简单三角方程

(1) 最简型：例如$a\sin(\omega x+\varphi)+b=0.$

解题思路：化为$\sin{x}=A$形式，利用最简三角方程公式解.

(2) 可换元型：例如$a\sin²{x}+b\sin{x}+c=0.$

解题思路：化为$(A_1\sin{x}-B_1)(A_2\sin{x}-B_2)=0$，转化为(1)型.

(3) $a\sin{x}+b\cos{x}+c=0$型.

解题思路：利用辅助角转化为(1)型.

(4) 同名等值三角比型：例如$\sin(\omega_1x+\varphi_1)=\sin(\omega_2x+\varphi_2).$

解题思路：用如下公式化为代数方程求解.

(5) 关于$\sin{x},\cos{x}$的齐次型：例如$a\sin^2{x}+b\sin{x}\cos{x}+c\cos^2{x}=0.$

解题思路：变形为$a\tan^2{x}+b\tan{x}+c=0$,转化为(2)型.

3. 解三角方程的注意点

(1) 求某一区间内方程的解，一般应先求出这个方程解的一般形式，然后根据题意确定$k$的取值范围，最后求出方程在指定范围内的解.这样可避免遗漏方程的解.

(2) 在使用公式去分母、平方、开方，以及利用正切、余切时，可能会产生增根或失根.因此，在变形过程中要注意每一步的变形是否同解变形，要注意检验.

(3) 三角方程的通解表达形式不是唯一的，如果出现不同的表达形式不要大惊小怪.

4. 解三角方程的思路

$三角方程\xrightarrow{三角变换,代数变形}最简三角方程\xrightarrow{反三角函数}通解$

二、例题

[例题1]解方程：$\sin{x}=2.$

[例题2]当$k$为何值时，方程$(2-\cos{x})k=2+\cos{x}$有实数解？

[例题3]解方程：

(1) $2\sin(3x+\frac{\pi}{4})=\sqrt{3};$

(2) $\sin(3x+\frac{\pi}{3})=\sin2{x};$

(3) $\tan(3x+\frac{\pi}{3})=5.$

[例题4]解方程$\sin^2{x}-3\sin{x}\cos{x}+1=0$.

[例题5]解方程：$\arctan x+\arcsin\frac{x}{\sqrt{x^2+\frac{9}{4}}}=\frac{π}{4}.$