物理

生成函数（5）：Dirichlet 生成函数

铺垫了这么久的Dirichlet卷积，它和我们要研究的Dirichlet 生成函数有什么关系呢？从映射的角度，我们可以把Dirichlet生成函数当成一种对应关系（环同构），它把Dirichlet 卷积与级数的乘法紧密结合在一起。

各位还记得我们是怎么证明欧拉乘积公式的吗？我们研究的分母可能由哪些项的乘积得到。也就是只要有$ab=n$，它就会生成$\frac{1}{n^s}$这一项，而每一组这样的数最后还要求和。看到了吗，这不就是我们前面研究过的Dirichlet卷积吗？换而言之，Dirichlet生成函数的乘法天然利用了整数的分解，这意味着它天然蕴含着Dirichlet 卷积的结构。也就是说，Dirichlet 生成函数的乘法与Dirichlet 卷积存在某种对应关系。我们来说明这一点。

Dirichlet 生成函数最关键也最重要的一个性质是，它把数论函数的Dirichlet 卷积完完全全地搬到了生成函数的乘积上，即如下性质，

$D_{f\ast g}(s)=D_{f}(s)\cdot D_{g}(s)$。

我们考虑把$D_{f}(s) \cdot D_{g}(s)$的每一项展开，我们看到得到的级数中$\frac{1}{n^s}$这一项是由所有的满足$ab=n$的$\frac{f(a)}{a^s}\cdot \frac{g(b)}{b^s}$求和得到，这正是我们研究过的Dirichlet 卷积，于是命题得证。对于加法得到的对应关系是显然成立的。我们把更多的对应关系列出来：

（1）$D_{f\ast g} (s)=D_{f}\cdot D_{g}$

（2）$D_{f+g}(s)=D_{f}+D_{g}$

（3）$D_{I} (s)=1$

（4）$D_{0}(s)=0$，其中$0$是恒等于0的常数函数

我们考虑环的概念，一个集合$R$和上面的“乘法”运算$\times$以及“加法”运算$+$被称为一个（含幺）环，如果它满足：

（1）$(R,\times)$构成一个幺半群

（2）$(R,+)$构成一个群

（3）乘法对加法分配

特别地，如果$(R,+)$构成一个Abel 群，那么称$R$是一个交换环。

Dirichlet 卷积对一般意义下的加法分配是显然的。因此，我们知道全体数论函数$\mathcal{A}$构成一个环，称为数论函数环。而Dirichlet 生成函数在一般意义的乘法和加法意义下同样也构成一个环，称为形式Dirichlet 级数环，记作$\mathcal{D}$。那么这样我们可以把Dirichlet生成函数看作一个映射$D_{\ast}(s): \mathcal{A} \to \mathcal{D}$，这是一个双射，并且刚刚说的性质告诉我们，它保持了两个环的结构，因此我们称它是一个环同构。这个环同构使得数论函数有两种研究方法，第一种是以纯数论的角度研究，第二种是将它转化到Dirichlet 生成函数上，通过分析的方法来研究，这是解析数论的内容。非常关键的一点是，Dirichlet生成函数在其上收敛的半平面上是全纯函数，并且逐项求导是合法的，这两个性质都是很强的。这是解析数论中利用分析方法研究数论函数的一个基石。

求证Mobius反演公式。

这个公式我们已经证明过来，但是这里想用来展示一下生成函数的方法。首先由欧拉乘积公式，我们有$D_{\mu}(s)=\prod_{p~is~prime} (1-\frac{1}{p^{s}})$，所以我们有$D_{\mu} (s)\cdot D_{1}(s)=1$，因此$\mu \ast 1=I$这就是Mobius 反演。如果我们令$s=2$，那么我们会得到$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^2}=\frac{6}{\pi^2}$。在《数论：概念和问题》一书中，这个公式被用于推导无平方因子数的密度，书上给的证明是直接计算，而我们这里用的是生成函数。

设$\Omega(n)$为n中不同素因数的个数，$\lambda(n)=(-1)^{\Omega(n)}$，求证：$\lambda \ast \mu^2=I$

正面考虑是比较复杂的，但是我们可以考虑它们的生成函数，由于它们两个都是积性函数，我们利用欧拉乘积公式可以得到，$D_{\mu^2}(s)=\prod_{p~is~prime} (1+\frac{1}{p^s})$，利用平方差公式可以得到$D_{\mu^2}(s)=\frac{\zeta(s)}{\zeta(2s)}$。同样的，另外一边，对于所有素数幂都有$\lambda(p^k)=1$，所以$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda(p^{ks})}{p^{ks}}=(1-\frac{1}{p^s})^{-1}-1=\frac{1}{p^s-1}$，这里面减1是因为$\lambda(1)=0$，在算等比级数时$1$这一项是没有的。由此，我们知道$D_{\lambda}(s)=\prod_{p~is~prime} \frac{1}{p^s-1}=\frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)}$。所以我们得到$D_{\mu^2}\cdot D_{\lambda}=1$，这就得到了结论。

同样的，利用生成函数我们还能得到更多公式，例如由$1\ast 1=\tau$，我们可以得到$\sum^{\infty}_{n=1} \frac{\tau(n)}{n^s}=\zeta^2(s)$，由又比如$\varphi \ast 1=I$，我们可以得到$\sum^{\infty}_{n=1} \frac{\varphi(n)}{n^s}=\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}$。因此，通过生成函数的方法，我们可以结合Dirichlet 卷积得到大量正面难以证明的恒等式。