物理

从Peano公理到( )？(Chapter 1)

First of all，要想从Peano公理开始推导，需要先知道什么是Peano公理：

[Peano公理]我们称满足以下五个条件的集合$\mathbb{N}$为自然数集：

①$0\in\mathbb{N}$

②$\forall a\in\mathbb{N},\exist ! S(a)\in\mathbb{N},并称S(a)为a的后继数$

③$\forall a,b\in\mathbb{N},我们有a=b当且仅当S(a)=S(b)$

④$\forall a\in\mathbb{N},S(a)\neq 0$

⑤$设A\subseteq\mathbb{N},满足：0\in A,并且\forall a\in A,S(a)\in A,则A=\mathbb{N}$

当然 ，照这样定义的话，$\mathbb{N}$是无穷集，不过不需要担心，ZFC中的无穷公理和幂集公理保证了可以这样定义$\mathbb{N}$

（为叙述方便，若无其他说明，下文中的“公理”均指Peano公理）

但是这还没完，我们还需要说明删去公理中的任何一条，都存在一个非自然数集的集合满足其它公理，也就是说，在①～⑤中没有一个是多余的

首先，把①或②去掉显然是不行的

如果去掉③，则令$M=\{ 0,1\} ,并且S(0)=S(1)=1$，这样$M$也是自然数集了，导致矛盾

如果去掉④，则令$S(0)=0$，这样$\{ 0\}$也是自然数集了，也会出现矛盾

如果去掉⑤，则令$M=\mathbb{N}\cup \{ A_0,\cdots\} ,其中\forall i,j\in\mathbb{N},i\neq A_j,并规定S(A_i)=A_{S(i)}$

这样，M满足①②③④，也是自然数集，又导致矛盾

所以，公理中的①②③④⑤没有多余的

有了这些准备工作，接下来就可以开始推导了

不过在这之前，还需要用到一个强大的工具(数学归纳法)：

如果对于一个命题$P(n),满足P(0)成立，并且\forall n\in\mathbb{N}且P(n)成立，都有P(S(n))成立$

那么$\forall n\in\mathbb{N},P(n)$成立

证明：设集合$S=\{ n\mid P(n)成立\} ,则有0\in S,并且\forall n\in S,S(n)\in S$

由公理⑤，$S=\mathbb{N},即\forall n\in\mathbb{N},P(n)成立，Q.E.D.$

证明数学归纳法其实是为了以后叙述方便，后面的证明要大量使用数学归纳法，用归纳法比直接使用公理⑤来的简洁

接下来就可以着手证明了

众所周知，自然数之间除后继之外还有两种关系：

一种是我们熟知的加减乘除，也就是四则运算；另一种是大于、小于等等，也就是序关系

但是序关系本身需要用四则运算定义，所以我们先考虑四则运算

$\Large{1.加法}$

我们从最简单的加法开始，首先需要归纳定义加法：

设$\mathbb{N}上的二元运算"+"满足$：

①$\forall x\in\mathbb{N},x+0=x$

②$\forall a,b\in\mathbb{N},a+S(b)=S(a+b)$

有了这些，就可以证明像$1+1=2$这样的等式：$1+1=1+S(0)=S(1+0)=S(1)=2$(划掉)

不过在这里，1和2还没有给出严格定义，就像$S(0)=1,S(S(0))=S(1)=2$，这个后面再说

还有一点，就是需要证明这个加法的运算在自然数集中唯一存在，这个我会和以后证明乘法运算唯一存在专门放一个帖子

有了加法之后，就可以来证明加法的几个性质，比如结合律和交换律：

①加法结合律，即$\forall a,b,c\in\mathbb{N},a+(b+c)=(a+b)+c.$

（如果很较真的话，这里应该先定义括号♿♿♿不过我懒得写了，大家知道这表示先算括号内的式子就行了）

证明：$c=0时,a+(b+0)=a+b=(a+b)+0,命题成立$

$假设在c=n时命题成立，那么在c=S(n)时，有$

$a+(b+S(n))=a+S(b+n)=S(a+(b+n))=S((a+b)+n)=(a+b)+S(n)$

$即c=S(n)时命题成立.由数学归纳法,加法结合律成立,Q.E.D.$

②加法交换律，即$\forall a,b\in\mathbb{N},都有a+b=b+a$

这个证明比较麻烦，需要先证明两个引理：

[引理1]$\forall x\in\mathbb{N},0+x=x$

证明：$x=0$时，由加法定义①，显然成立

$假设x=n时命题成立，那么有0+S(n)=S(0+n)=S(n),即命题对S(n)成立$

由数学归纳法，引理1得证。

[引理2]$\forall a,b\in\mathbb{N},a+S(b)=S(a)+b$

证明：$b=0时,有a+S(0)=S(a+0)=S(a)=S(a)+b,命题成立$

$假设b=n时成立，那么b=S(n)时，有$

$a+S(S(n))=S(a+S(n))=S(S(a)+n)=S(a)+S(n),即命题对b=S(n)也成立$

由数学归纳法，引理2得证。

回到原命题。$b=0时,由引理1,a+0=a=0+a$,命题成立

假设b=n时命题成立，则由归纳假设及引理2，

$a+S(n)=S(a+n)=S(n+a)=n+S(a)=S(n)+a,即命题对b=S(n)也成立$

由数学归纳法，加法交换律成立，Q.E.D.

除了这两个性质之外，加法还有一个重要的性质，加法消去律：

$\forall a,b,c\in\mathbb{N},a+c=b+c当且仅当a=b$

（这里说一下，交换律必须要在消去律之前证明，否则消去律有很多种形式，但证明交换律之后，这些形式就都是等价的了）

证明：$c=0时命题显然成立,若c=n时命题成立,则有a+n=b+n\Leftrightarrow a=b,于是$

$a+S(n)=b+S(n)\Leftrightarrow S(a+n)=S(b+n)\Leftrightarrow a+n=b+n\Leftrightarrow a=b$

$于是命题对c=S(n)$也成立，由数学归纳法，消去律成立。

由消去律可以得到一个重要推论：

设$a,b,c,d\in\mathbb{N},a=b,c=d,则a+c=b+d.$

证明：$由a=b得a+c=b+c,由c=d得b+c=b+d,即得a+c=b+d.$

到这里，加法的性质已经差不多了

$\Large{2.序关系}$

对于$a,b\in\mathbb{N},若\exist m\in\mathbb{N},使得a+m=b,则称a\le b,并记m=b-a$

从上面的定义可以看出，减法和序关系是一起被定义出来的，不过我们这里先讨论序关系

众所(不一定)周知，对于序关系（这里用“$\sim$”表示集合A中一般的序关系），有一下几个性质：

$\forall x,y,z\in A,$

①$x\sim x$

②$x\sim y,y\sim x\Rightarrow x=y$

③$x\sim y,y\sim z\Rightarrow x\sim z$

④$若x\neq y,则x\sim y和y\sim x有且仅有一个成立$

⑤$对于序集合(A,\sim )的每一个非空子集都有最小元$

我们将满足①②③的序关系称为偏序关系（如子集关系），将满足①②③④的序关系称为全序关系（如实数集上的≤关系），将①②③④⑤都满足的序关系称为良序关系（如自然数集上的≤关系，下面我们证明的正是这一点）

①②③的证明较容易：

性质①：$由于\forall x\in\mathbb{N},x+0=x,故x\le x$

（注：从这里还能推出$\forall x\in\mathbb{N},0\le x$）

性质②：$由于x\le y,y\le x,故\exist m_0,m_1\in\mathbb{N},使得x+m_0=y,y+m_1=x$

$由消去律及其推论,x+y+m_0+m_1=x+y,从而m_0+m_1=0$

若$m_0,m_1不全等于0，不妨设m_0\neq 0,由公理2,\exist n\in\mathbb{N},m_0=S(n)$

$于是有0=m_1+m_0=m_1+S(n)=S(m_1+n)$,与公理4矛盾！

故$m_0=m_1=0,即x=y$

性质③：由$x\le y,y\le z可知\exist n_0,n_1\in\mathbb{N},使得x+n_0=y,y+n_1=z$

$由消去律及其推论,有x+y+n_0+n_1=y+z,即x+n_0+n_1=z,由序的定义,x\le z$

④和⑤的证明稍微麻烦亿点：

性质④：先证明一个引理：

[引理]$设x,y\in\mathbb{N},则x\le S(y)且x\neq S(y)\Leftrightarrow x\le y$

$(仅证"\Rightarrow",另一侧类似)由x\le S(y)可知\exist n\in\mathbb{N},x+n=S(y),由x\neq S(y)得n\neq 0(反证易得)$

$故\exist n_0\in\mathbb{N},n=S(n_0),于是有S(y)=x+S(n_0)=S(x+n_0)$

$由公理3,y=x+n_0,即x\le y$

类似可证：$x\le y且x\neq y\Leftrightarrow S(x)\le y$(Tips:需要用到证明交换律时的引理2)

回到原命题。设$M_y=\{x\in\mathbb{N}\mid x\le y,x\neq y\} ,N_y=\{ x\in\mathbb{N}\mid y\le x,x\neq y\}$

则性质④等价于$\forall y\in\mathbb{N},M_y,N_y,\{ y\} 两两不交,且M_y\cup N_y\cup \{ y\} =\mathbb{N}$

先证明这三个集合两两不交。显然$M_y\cap\{ y\} =N_y\cap\{y \}=\varnothing$

若$M_y\cap N_y\neq\varnothing,则\exist x_0\in\mathbb{N},使得x_0\le y,y\le x_0,$

$由性质2,x_0=y这与x_0\neq y$矛盾！所以这三个集合两两不交

在证明这三个集合的并集为$\mathbb{N}$

$首先,设x\le 0,由于0\le x(性质1推论),故x=0,从而M_0=\varnothing,N_0=\mathbb{N}$

$M_0\cup N_0\cup \{ 0\} =\mathbb{N},所以y=0$时命题成立

$假设y=n时命题成立，考虑y=S(n)的情形$

由引理及其推论,$M_{S(y)}=\{x\mid x\le S(y),x\neq S(y)\} =\{x\mid x\le y\}=M_y\cup\{ y\}$

$N_{S(y)}=\{x\mid S(y)\le x,x\neq S(y)\}\cup \{ S(y)\} =\{x\mid S(y)\le x\}=N_y$

故$M_{S(y)}\cup N_{S(y)}\cup\{ S(y)\} =M_y\cup N_y\cup\{ y\} =\mathbb{N}$,由数学归纳法,命题得证。