物理

复数相关知识

要想知道复数先了解一下i吧😋👍

有关x²+1=0这个方程的解在小初阶段想必大家想的都是无解，到了高中我们知道了知道√-1是它的解，我们就把√-1称作i满足i²=-1

接下来让我们正式进入复数💦

形入z=a+bi的数称为复数

其中a是z的实部记为Re(z)=a，b是z的虚部记为Im(z)=b

实数：b=0，z=a时

虚数：b≠0，z为虚数时

纯虚数：a=0，b≠0，z=bi时

复数的几何意义：

复数可在平面直角坐标系中表示，这个平面成为复平面

• 横轴：实轴，表示实部
• 纵轴：虚轴，表示虚部
• 对应点：z=a+bi对应复平面上的点Z(a，b)
• 对应向量：复数z可以看作是从原点O指向点Z(a，b)的向量O

模：

复数z=a+bi的模表示向量OZ的长度，记作|z|，|z|=√a²+b²

表示点Z(a，b)到原点的距离

辐角：

以x轴正半边为始边，向量OZ所在射线为终边的角θ称为复数z的辐角

• 主辐角：取值范围通常在(-π，π］或［0，2π)内的辐角，记作arg(z)
• 若z≠0，则tan(arg z)=b/a

复数的表示形式：

1. 三角形式：z=r(cos θ+isin θ)，r=|z|，θ为辐角
2. 指数形式：z=re^iθ，基于欧拉公式e^iθ=cos θ+isin θ得到

复数的运算👇

加减法：设z₁=a+bi，z₂=c+di，则z₁±z₂=(a±c)+(b±d)i

乘法：z₁z₂=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)

除法：z₁/z₂=a+bi/c+di=bc-ad/c²+d²

定理与公式：

棣莫弗定理：对于任意整数n

[r(cos θ+isin θ)]ⁿ=rⁿ(cos nθ+isin nθ)或(re^iθ)ⁿ=rⁿe^inθ

一元二次方程的复数根：对于ax²+bx+c=0

• 当△=b²-4ac<0时，方程有两个共轭复根：x=-b±i√4ac-b²/2a
• 韦达定理依然成立：两根之和x₁+x₂=-b/a，两根之积x₁x₂=c/a

单位根：方程zⁿ=1的n个根称为n次单位根，它们在复平面上构成一个单位内接于单位圆的正n边形

根的形式为：z=cos 2kπ/n=e^i×2kπ/n，k=0，1，2...,n-1