数学

函数的几种特性

1.函数的奇偶性

设函数y=f(x)的定义域D关于原点对称，如果对于任意x∈D,恒有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数;如果对于任意x∈D,恒有f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数.在平面直角坐标系中，偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点中心对称。

例如，y=x³在(-∞,+∞)上是奇函数，y=cosx在(-∞,+∞)上是偶函数，而y=x⁴+sin2x在(-∞,+∞)上是非奇非偶的函数。

2.函数的单调性

设函数y=f(x)的定义域为D，区间I⊂D，如果对于I内任意两点x₁，x₂，当x₁<x₂时都有f(x₁)<f(x₂)，则称函数y=f(x)在I上单调递增；反之，f(x₁)>f(x₂)时，则称函数y=f(x)在I上单调递减。统称为单调函数。

例如，y=e^x是(-∞,+∞)上的单调递增函数，y=1/x是(0，+∞)上的单调递减函数，而y=x²在(-∞,0]上单调递减，在[0,+∞)上单调递增。

3.函数的周期性

设函数y=f(x)的定义域为D，若存在一个常数T≠0，使得对于任意x∈D，必有x±T∈D，并且使f(x±T)=f(x)，则称f(x)为周期函数，其中T称为f(x)的周期，周期函数的周期通常是指他它的最小正周期。

例如，y=sinx，y=cosx都是以2π为周期的周期函数。周期函数可以通过它在一个周期[a,a+T]内的图形沿x轴向左、右两个方向平移后得到。

4.函数的有界性

设函数y=f(x)的定义域为D，区间I⊂D，如果存在一个正数M，使得对于任意x∈I，都有|f(x)|≤M，则称函数f(x)在I上有界，也说f(x)是I上的有界函数，否则称f(x)在I上无界 ，也称f(x)为I上的无界函数。

例如，函数y=arctanx，对任意的x∈(-∞,+∞)时，都有不等式|arctanx|<π/2成立，所以y=arctanx是(-∞,+∞)上的有界函数。

函数的有界性与x取值的区间I有关，例如，函数y=1/x在区间(0,1)上是无界的，但它在区间[1,+∞]上是有界的。