物理

刚体动力学简说1

因为有一些题目需要用到这个，所以搬上来讲一讲

但是只讲平动和定轴转动，进动章动就先等一等。

$\huge{Part1.刚体}$

在学完质点后大家会有一个疑问，能不能研究一个物体的非沿某条轨迹而运动，而是沿着一条轴或者是一条母线进行转动，摆动？这样的情况，显然是不能用质点来描述的，于是这一类在运动过程中不会发生形状改变的物体，被称为刚体，这一类的研究，也被称为刚体运动学与刚体动力学。

刚体与质点，质点系一样，都符合机械能守恒，角动量守恒。而角动量的守恒，但来了第一个要研究的问题，定轴转动。

$\huge{Part2.刚体的定轴转动}$

如何去描述定轴转动呢？考虑这样一个情况，我们假设获得两个人，近似为圆柱体，两个人都在地上绕着自己的中心轴转动，质量不同。如何让这两个人停止？从主观的判断来说，质量大的圆柱一定是比质量小的圆柱要更难停下来。而此时如果一个人张开双手转动，使他的半径增大，而另一个人没有手的转动，使他的半径减小，从主观上来看，半径大的会比半径小的更难停下来。

于是我们想找到一个量正比与刚体的半径与质量，这个量就是转动惯量。

转动惯量：$I=\sum m_i r_i^2$

转动惯量与角动量满足$L=I\omega$

举一个简单的例子验证一下，考虑单个质点的圆周运动，角动量等于$L=mrv$，转动惯量就等于$I=mr^2$，利用条件$v=r \omega$可以得到上面的式子。

由于角动量的变化量$\frac{dL}{dt}=M$，刚体转动惯量恒定，而角加速度$\beta=\frac{d\omega}{dt}$，于是可以得到刚体的转动定理：

$M=I \beta$

类比与上述例子，不难推得刚体定轴转动的动能为$E_k=\frac{1}{2} I \omega^2$

根据科尼西定理，总动能等于各部分动能加相对于质心的动能

即$E_k=\frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$

刚体定轴转动的总加速度为$a = \sqrt{a_t^2 + a_n^2} = r\sqrt{\beta^2 + \omega^4}$

$\huge{Part3.转动惯量的计算}$

这一块讲一讲计算转动惯量的一些小技巧

平行轴定理：

若已知刚体对通过质心 $C$ 的轴的转动惯量为$I_C$，则对与该轴平行且距离为 $d$ 的轴的转动惯量 $I$ 为：$I = I_C + md^2$

平行轴用于计算转轴不在质心所在轴上的刚体转动惯量。

垂直轴定理：

对于平面薄板状物体（如薄圆盘、正方形薄板），若已知对两个互相垂直且在板面内的轴的转动惯量 $I_x，I_y$，则对垂直于板面的轴的转动惯量

$I_z = I_x +I _y$

普通的连续刚体的转动惯量也可以直接积分，$I = \int r^2 \, dm$，平行轴定理与垂直轴定理也可以通过积分的方式推导。

这一个大家可以利用上面所讲的知识试着推一推，并不复杂。

一些常用的刚体的转动惯量：

1.均质的实心球体绕中心轴转动：$I=\frac{2}{5}mR^2$，R为半径.

2.薄球壳绕中心轴转动：$I=\frac{2}{3}mR^2$，R为半径.

3.薄圆盘绕垂直于盘面且过圆心的轴转动：$I=\frac{1}{2}mR^2$，R为半径.

$\huge{Part4.纯滚动，滑动与刚体动能问题汇总}$

有几道不错的例题待会放在上面

供大家参考