数学

尺规作图基本原理

早在初中的时候，我们就学习过尺规作图，并且了解到尺规作图中著名的三大问题：化圆为方问题，三等分角问题，以及倍立方体问题。我相信不少的同学也试着探索过这些答案的问题，但始终得不到一个好的解决方案。从此出发，或许我们能想到，从纯几何的角度来看，这些问题是难以解决甚至是无法解决的，并且它们一定存在一个更本质的共性。因此我们希望从代数的角度来深入研究这些问题。

首先在尺规作图中，如果我们把一条已知线段的长当成“1”，那么每条线段的长都可以按比例当成某个数。我们要求的可能是一个圆的某条弦，一个三角形的某条边等等，这类问题实际上就化为了在某些约束条件下求解一个（组）方程，并且我们希望通过尺规作图的方式能够得到这个解。而解析几何恰好为我们提供了充足的理论工具。

想想我们在尺规作图中能做些什么事：

（1）连接两点，且直线可以任意延长

（2）以任意一点为圆心，任意长为半径

（3）作出已知直线或圆的交点

其中（3）是最重要的，它是让我们从已知量到未知量的关键一步。因为（1）（2）是在为我们列出需要求解的方程，(3)实际上就是得到了这些方程的解。另外很重要的一点是，直线是一次方程，圆是二次方程，这意味着我们得到的解要么是已知量通过加减乘除能够得到的，要么是给已知量开二次方。这里的已知量是指最初给定的量，或者由最初的量通过以上三步可作出的。由此我们也能大致知道我们解决尺规作图问题的方法了：判断一个量是否能通过有限次加减乘除和开二次方得到。

下面我们用数学语言来阐释这一点。

如果有一个实数集的子集F，满足其中的元素关于加减乘三则运算封闭，且F\{0}关于除法封闭（由于减法封闭，一定有$0\in F$），则我们称F为一个数域。我们不考虑$F=\{ 0 \}$这种平凡情况。如果数域F的子集L也是数域，那么称L是F的子域，且F是L扩域。扩张一个数域最简单的方法就是给其中的数开根，而尺规作图刚好可以解决这一点。因此我们可以把尺规作图理解为往已知数域中不断添加新的数。

很重要的一点是有理数域是任何数域F的子域，而我们可以轻易地通过尺规作图进行加减乘除，这意味着我们尺规作图地目的都是希望通过解方程，来不断扩充我们已有的数域，我们求解这些尺规作图问题实际上也是在找，这些问题的解所在的数域是否可以通过尺规作图从有理数域扩充出来。换而言之，我们想知道哪些数域是我们可以扩充出来的。

描述数域与它的扩域一个很关键的量是扩域的次数。如果有一些数$a_1$，$a_2$，…，$a_n$，它们的F-线性组合（就是系数在F中）$\sum^{n}_{i=1} c_ia_1=0$当且进当所有的系数$c_i=0$成立，其中这些系数$c_i\in F$，那么我们称$a_1$，$a_2$，…，$a_n$是F－线性无关的。这一概念可以类比线性代数中所学的线性无关，只不过线性代数的线性无关针对的是向量，我们这里针对的是数，其实质是一致的。最简单的例子是，1和$\sqrt{2}$是$\mathbb{Q}$－线性无关的。我们可能会有个大概的感受：线性无关不就是说明这些数不能通过F中的数加减乘除得来吗？那这不就是我们所想要的数域的扩张吗？从线性代数的角度，一组线性无关的数（要求包含1）的所有F－线性组合构成了一个F－向量空间。而F的一个扩域L总是可以视作一个F－向量空间，我们称L的维数为L对F的次数，并记作[L:F]（实际上对于环有一样的定义）。扩张的次数是扩域最基本的一个属性，它能大致告诉我们我们往F 中添加了一些什么样的元素。

例如，$\mathbb{C}$可以看作是由1和i的实线性组合生成的向量空间（也就是所谓的复数的几何表示），所以我们有[$\mathbb{C}$:$\mathbb{R}$]=2。

回忆另一个概念，如果一个数是某个系数在数域F中的多项式方程的根，那么称它是一个F上的代数数。如果它满足一个系数在数域F中的n次既约多项式方程，那么称它是F上的n次代数数。这里要求的“既约”起到了最小的作用，说明这个代数数满足的方程次数不能更低了。代数数的次数也是一个基本属性，并且它与扩域的次数密切相关。设$\alpha$是一个F上的代数数，记$F(\alpha )$为包含1与$\alpha$的所有F线性组合的最小数域。例如$\mathbb{C}$可以记作$\mathbb{R}(i)$。显然$F(\alpha )$是$F$的扩域。

对于次数，我们有两点很重要的性质：

（1）次数的乘法性质：设$F \subseteq K \subseteq L$为三个域，那么我们有[L:F]=[L:K][K:F]

（2）若$\alpha$为F上的n次代数数，则我们有[$F( \alpha )$:F]=n

现在我们可以回到最初的想法了。我们说尺规作图就是判断一个数是否能通过有限次加减乘除和开二次方的到。也就是说每次的域扩张都必须是二次或者一次。二次扩张对应开方，而一次扩张实际上就是已知数域本身。所以我们应该有如下定理。

数域K中的元素可尺规作图当且仅当存在实数域的子域链$\mathbb{Q}=F_0 \subseteq F_1 \subseteq F_2 \subseteq \cdot \cdot \cdot \subseteq F_n=K$，满足任一相邻两项的扩张次数为2。

这一定理将我们最初的想法数学化了，并且我们有如下更好用更方便的推论。

若$\alpha$可尺规作图作出，则它是$\mathbb{Q}$上的$2^n$次代数数。

但是该命题的逆命题不真，Galois理论可以为我们提供理解这一点的方法，但这超出了我们所要探讨的内容。具体地，一个四次代数数可尺规作图，当且仅当它满足的既约方程的预解式三次方程有有理根。

现在我们知道一个实数要可尺规作图作出，首先它得是代数数，其次它在$\mathbb{Q}$上的次数必须是2的幂次，如此我们就解决了化圆为方问题（$\pi$是超越数）和倍立方体问题，我们来研究剩下的三等分角问题。我们说明$20^{\circ }$是不可能作出的即可，即说明$\cos 20^{\circ }$不可尺规作图。设$\theta =20^{\circ}$，$\alpha=2\cos \theta$，由欧拉定理，我们得到$\alpha =e^{i\theta}+e^{-i\theta}$，并且我们有$1=e^{3i\theta}+e^{-3i\theta}$，结合两式得到$\alpha^3=3\alpha +1$，故$\alpha$是多项式$x^3-3x-1$的一个根，并且容易证明该多项式在$\mathbb{Q}$上既约。所以$\alpha$为3次代数数，是不可能尺规作图的。

另一个例子，我们证明正七边形不可尺规作图。记$\theta =\frac{2\pi}{7}$，这等价于$\sin \theta$和$\cos \theta$是可尺规作图的。如果这件事成立，那么它们的次数都是2的幂，那么$e^{i\theta}=\cos \theta +i \sin \theta$是在原来的数域上添加了i这个元素，因此它的次数也是2的幂，这与它是既约多项式$\sum^{6}_{i=0} x^i$的根矛盾。我们的这个方法是具有普适性的，读者可以看出它还可以解决更一般的问题。现在让我们重走高斯的道路，思考同样的问题，正十七边形可尺规作图吗？

我们解决更加一般的问题，设p是一个素数，正p边形可尺规作图的充要条件是什么？重复上述的讨论，我们知道若正p边形可尺规作图，则多项式$\sum^{p-1}_{i=0} x^i$的次数必须是2的幂，也就是$p=2^r+1$，这就是说p必须是素的费马数。高斯证明了如果p是素的费马数，则正p边形可尺规作图，这一点的证明更加困难。最简单的方法可能是利用Galois理论，分析这些方程的Galois群以及对应的中间域。但是，这显然超出了我们的准备，另外，高斯那个时候也没有Galois 理论啊，那他是怎么解决的呢？记$\theta ={\frac{2\pi}{p}}$。

首先我们观察p的形式，一方面，p是费马数，我们知道$p-1$一定是2的幂，而我们希望说明$\zeta =e^{i\theta}$可以通过反复的加减乘除和开二次方得到，这启发我们利用“递降”的想法把次数逐渐降下去；另一方面，p是一个素数，我们所拥有的工具更多更丰富，联系我们的研究对象是p次本原单位根，我们不难想到利用高斯和来解决。最令人欣喜的是，为了研究高斯和，我们希望p的缩系具有良好的乘法结构（便于分组与排序，使得分开的两组满足比较简单的二次多项式），最简单的就是原根。我们试着操作一下。

设g是p的一个原根，$\alpha_0=\sum^{\frac{p-1}{2}-1}_{k=0} \zeta ^{g^{2k}} $，$\alpha_1=\sum^{\frac{p-1}{2}-1}_{k=0} \zeta ^{g^{2k＋1}} $（这样的分组也可以利用mod p的二次剩余和非二次剩余解决，本质是一样的，只是二次剩余来分类会导致后面需要四次剩余、八次剩余等更复杂的工具），显然有$\alpha_0+\alpha_1=-1$，经过“亿”些计算后能发现$\alpha_0 \alpha_1=c\in \mathbb{Z}$，这说明我们分出的这两组数是多项式$x^2+x+c$的两根，这就完成了第一次递降，后续的递降通过mod 4分类，mod 8分类等等，归纳法即可解决。最后的得到的每一组中仅有一个单位根$\zeta^k$，而每一组都可以用前一次分组中的数通过加减乘除以及开二次方得到（我们只需要找到子域链即可，而这个步骤就是在不断地开方来扩张我们已知的数域）。这也就证明了当p是素的费马数时，正p边形是可以尺规作图的。并且整个证明还给我们提供了一种尺规作图正p边形的方法，只需要按照证明中的方法把这些数依次求解出来即可。

综上，若p是一个素数，则正p边形可尺规作图当且仅当p是素的费马数。