数学

[一些奇怪的数学知识VOL.001]如何更加快捷地手撕根号

如题，平日里我们常常会碰到一些莫名其妙的根号，想要把它开出来常常需要使用二分法或夹逼的奇妙方法，计算量较大。

该如何改变着这种现象呢？

于是我们请出「伯努利不等式」：

(1+x)^n>1+nx(n为有理数，x>-1)

这个不等式在0<x<1时是可以视作约等号的，所以我们可以这样手撕根号：

1. 先改写根式内容：sqrt(n)=sqrt(a^2+a^2*b)=a*sqrt(1+b)；其中a一般是整数，b一般是真分数。
2. 将b改写为1+(b-1)的形式；
3. 使用伯努利不等式：a*sqrt[1+(b-1)]=a*[1+(b-1)]^(1/2)>a*[1+1/2*(b-1)]，然后直接计算即可得出手撕根号的结果。

现在有一个问题，这种方法的精度比较低，如何提高精度呢？

可以在第一部将sqrt(n)改写为(10^-2k)*sqrt(n*(10^k)),其中k是整数，再对根号中的内容重新手撕，就可以适当地提高精度了。

实例：

sqrt(11)=sqrt(9+2)=(3)*sqrt(1+2/9)=3*(1+2/9)^(1/2)>3*(1+(1/2)*(2/9))=3.33.与真实的sqrt(11)=3.316相差的不多，当然也可以使用上述方法提高精度。

并且由于伯努利不等式中n的取值范围是有理数，所以开n次根号也可以使用这种方法，稍加改动即可。

你学会了吗？

初次发此类帖子，不会用LaTeX，内容可能也比较简陋，望勿喷，感谢大佬指教。

以下手抄版，更加建议阅读，食用效果更佳。