物理

微分方程基础知识

(该帖为基础知识)(有错可指出，毕竟是新手)

定义：

含有未知函数及其导数或微分的方程为微分方程，如果未知函数为一元方程，则为常微分方程，如果函数是多元，则称为偏微分方程

一般形式：

对于一个n阶常微分方程，一般形式可表示为：F(x，y，y’，y''...yⁿ)=0

x为自变量，y=y(x)是未知函数，y～yⁿ为y的一阶至n阶导数

解的概念：

通解：包含任意常数且任意常数个数等于方程阶数的解，代表满足该微分方程所有可能函数的集合

特解：通过给定初始条件或边界条件，确定通解中的任意常数后得到的具体解

1.可分离变量方程

形式为g(y)dy=f(x)dx

两边同时积分及可解

∫g(y)dy=∫f(x)dx+C

2.一阶线性微分方程

标准形式为y’+P(x)y=Q(x)

可用积分因子或常数变易发

通解公式：y=e^-∫ P(x)dx(∫ Q(x)e^∫ P(x)dx+C)

3.二阶常系数线性齐次微分方程

标准形式为y''+py'+qy=0，其中p，q为常数

可写出r²+pr+q=0，根据特征根r₁，r₂的情况确定通解

①若r₁≠r₂为实根，则y=C₁e^r₁x+C₂e^r₂x

②若r₁=r₂=r为重根，则y=(C₁+C₂x)e^rx

③若r₁,₂=α±ⅰβ为共轭复根，则y=e^αx(C₁cosβx+C₂sinβx)