物理

2026 年 7 月谜之竞赛加试试题

2026 年 7 月谜之竞赛加试试题

一、（本题满分 40 分）设 $a_1, a_2, a_3, \cdots$ 是由正实数构成的无穷序列，

满足对任意正整数 $n \ge 2$，有 $a_{n+1} = \min_{1 \le i \lt j \le n} |a_i - a_j|$。求 $\frac{a_2}{a_1}$ 的所有可能值。

二、（本题满分 40 分）如图，在三角形 $\triangle ABC$ 中，$AB \lt AC$。设 $\angle BAC$ 的外角平分线为直线 $l$，$l$ 与线段 $CB$ 的延长线交于点 $D$。设 $E, F$ 为直线 $l$ 上两点，使得 $D, E, A, F$ 在直线 $l$ 上依此顺序排列。直线 $CE, BF$ 交于点 $P$，过 $B, A, E$ 三点的圆与过 $C, A, F$ 三点的圆再次交于点 $Q$。假设上述各点两两不同，证明：$\angle AQP = \angle ADB$。

（答题时请将图画在答卷纸上）

三、（本题满分 50 分）求具有下述性质的最大整数 $K$：对任意正整数 $a_1, a_2, \cdots, a_{2026}$，若 $\gcd(a_1, a_2, \cdots, a_{2026}) = 1$，则存在整数 $x_1, x_2, \cdots, x_{2026}$，使得 $x_1 a_1 + x_2 a_2 + \cdots + x_{2026} a_{2026} = 1$，且在 $x_1, x_2, \cdots, x_{2026}$ 这 2026 个数中，恰有 $K$ 个数是 $x_1$ 的整数倍。

四、（本题满分 50 分）给定不小于 2 的正整数 $m, n$。初始时，黑板上从左到右写有一列数，其中 $1, 2, \cdots, n$ 各 $m$ 个。每次可以执行如下两种操作之一：

(1) 交换黑板上相邻的两数；

(2) 若黑板上存在两个相邻的数相同，则可以擦去其中 1 个。

求具有下述性质的最小整数 $k$：无论初始时黑板上数的排列顺序如何，都可以通过至多 $k$ 次操作，使得黑板上恰有 $n$ 个数。