2026 年 7 月谜之竞赛一试试题

一、填空题：本大题共 8 小题，每题 8 分，满分 64 分

1. 已知正实数 $a, b$ 满足 $\log_2 \log_4 a + 1 = \log_2 b$，则 $a \cdot 2^{-b}$ 的值为 ______。

2. 设定义在 $\mathbb{R}$ 上的偶函数 $f$ 满足：$f(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上严格单调递增。若实数 $a \neq 0$ 满足：对任意 $x \ge -1$，都有 $f(|x-a|) \ge f(x)$ 成立，则 $a$ 的取值范围为 ______。

3. 设集合 $X = \{1, 2, 3, 4, 5\}$，从 $X$ 的所有非空子集中，依次等可能地选取两个不同的子集 $A, B$，组成有序对 $(A, B)$，则事件“$A, B$ 不交”与事件“$A$ 中奇数的个数等于 $B$ 中偶数的个数”同时发生的概率为 ______。

4. 设实数 $\lambda$ 满足：存在等差数列 $\{a_n\}$，使得关于正整数 $n$ 的不等式 $a_{n+1}^2 \ge \lambda a_n a_{n+2}$ 的解集恰为 $\{1, 2, \cdots, 10\}$，则 $\lambda$ 的取值范围为 ______。

5. 已知 $\triangle ABC$ 的外心为 $O$，$|\overrightarrow{AB}| = 4$，$|\overrightarrow{AC}| = 2$。设 $AO$ 的中点为 $M$，若 $\overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4$，则 $|\overrightarrow{BC}| =$ ______。

6. 在平面上，双曲线 $\Gamma_1$ 和椭圆 $\Gamma_2$ 有两个相同的焦点 $F_1, F_2$。设 $\Gamma_1$ 和 $\Gamma_2$ 的四个交点为 $A, B, C, D$，且 $A, B, C, D$ 在 $\Gamma_2$ 上顺次排列。若四边形 $AF_2CF_1$ 的面积等于四边形 $ABCD$ 的面积，则 $\Gamma_1$ 和 $\Gamma_2$ 的离心率之积为 ______。

7. 设三棱锥 $A-BCD$ 满足 $AB, BC, BD$ 两两垂直，且 $AB = BC = BD = 3$。设 $M, N$ 分别为 $BC, BD$ 的中点。若点 $B$ 到过 $M, N$ 的平面 $\alpha$ 的距离为 $1$，则 $\alpha$ 截 $A-BCD$ 所得的截面面积的所有可能值为 ______。

8. 将 4 个 2，2 个 0，2 个 6，总共 8 个数排成一行，使得字符串“20”和字符串“26”不全都出现（即至少有一个不出现），则这样的排列方式有 ______ 种。

二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

9. （本题满分 16 分）设 $\omega$ 为实数，记 $f(x) = \left| \omega \sin(\omega x + \frac{\pi}{3}) \right|$，若在 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上存在 $x_0$，使得 $f(x_0) \ge 1$，求 $\omega$ 的取值范围。

10. （本题满分 20 分）设 $a, b, c$ 是实数，$z_1, z_2, z_3, z_4$ 是方程 $x^4 + 20x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ 的 4 个复根。若 $\{|z_i - z_j| : 1 \le i \lt j \le 4\} = \{\sqrt{2}, 2\}$，求 $c$ 的所有可能值。

11. （本题满分 20 分）在平面直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $\Gamma: |x| + y^2 = 1$。设 $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6$ 为 $\Gamma$ 上顺次排列的六个互不相同顶点，满足对 $i = 1, 2, 3$，线段 $A_i A_{i+1}$ 与线段 $A_{i+3} A_{i+4}$ 平行且相等（约定 $A_7 = A_1$）。

(1) 证明：对 $i = 1, 2, 3$，点 $A_i, A_{i+3}$ 关于原点 $O$ 对称；

(2) 求六边形 $A_1 A_2 A_3 A_4 A_5 A_6$ 面积的最大可能值。