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寒含涵更新于2026-7-31 09:22:34

在“全部”板块几乎看不到任何学术的时代，私以为这个帖子有理由放在 Obox。

任何人都可以在这个帖子下提问/解答/讨论学术问题。

原则上每题一楼，以获得较好的观感。

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共1条回复

寒含涵

1天前

1.求不定方程 x^2+x=y^4+y^3+y^2+y 的整数解。

2条评论

寒含涵

1天前

以下为标答:

由 \( x^2 + x = y^4 + y^3 + y^2 + y \) 可得 \( 4x^2 + 4x + 1 = 4y^4 + 4y^3 + 4y^2 + 4y + 1 \)，则

(2x + 1)^2 = (2y^2 + y)^2 + 3y^2 + 4y + 1 = (2y^2 + y + 1)^2 + (2y - y^2).

由于 \( (2x + 1)^2 \) 为完全平方数，\( 2y^2 + y > 0 \)，故当 \( \begin{cases} 3y^2 + 4y + 1 > 0 \\ 2y - y^2 < 0 \end{cases} \) 时，原方程无解，此时 \( y < -1 \) 或 \( y > 2 \)，从而有 \( -1 \leqslant y \leqslant 2 \)，即 \( y = -1, 0, 1, 2 \)

当 \( y = -1 \) 时，\( x = -1, 0 \)；当 \( y = 0 \) 时，\( x = -1, 0 \)；当 \( y = 1 \) 时，\( x^2 + x = 4 \) 无整数解；当 \( y = 2 \) 时，\( x = 5, -6 \)。

综上，所有整数解 \( (x, y) = (-1, -1), (-1, 0), (0, -1), (0, 0), (5, 2), (-6, 2) \)。

\ 回复 寒含涵

1天前

这题成功的唤醒了我在没开智时做专项训练被吊打的恐惧(其实还有一轮原题😡👊🏻()

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