${定轴转动参考系}$

（建议背记结论哦～）

属性：$\vec{\omega}$, $\vec{\beta}$

惯性力公式：$\vec{F} = -m\vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}) + 2m\vec{v}' \times \vec{\omega} - m\vec{\beta} \times \vec{r}$

$\vec{v}'$：在转动系中速度

惯性离心力：$\vec{F}_{\text{离}} = -m\vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}) = m\omega^2\vec{r} \rightarrow$ 沿径向向外

科里奥利力：$\vec{F}_{\text{科}} = 2m\vec{v}' \times \vec{\omega} \longrightarrow$ 与 $v'$ 垂直

切向力：$\vec{F}_{\text{切}} = -m\vec{\beta} \times \vec{r} \longrightarrow$ 沿切向，加速转动时产生

特殊：匀速转动、且在转动系中静止 $\longrightarrow$ 只有 $\vec{F}_{\text{离}}$

${推导:}$

$S'$：转动系 （角速度 $\vec{\omega}$，角加速度 $\vec{\beta}$）

$S$：静止系

$\vec{a} = \vec{a}' + \Delta\vec{a}$，$\Delta\vec{a} = ?$

$\hat{x}, \hat{y}, \hat{z} \longrightarrow \hat{i}', \hat{j}', \hat{k}'$

$\vec{r} = \vec{r}'$

$\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} $

$\vec{r} =x'\hat{i}' + y'\hat{j}'$

（此处为同一个$\vec{r}$在不同系中的表达式）

$\vec{v} = \left(\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\right)_S = \dot{x}\hat{i} + \dot{y}\hat{j}$

$\vec{v}' = \left(\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}'}{\mathrm{d}t}\right)_{S'} = \dot{x}'\hat{i}' + \dot{y}'\hat{j}'$

（尝试将$\vec{r}$用$S'$系的表达方式在$S$系中求导）

$\vec{v} = \left(\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\right)_S = \left(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right)_S(x'\hat{i}' + y'\hat{j}') = \dot{x}'\hat{i}' + \dot{y}'\hat{j}' + x'\left(\dfrac{\mathrm{d}\hat{i}'}{\mathrm{d}t}\right) + y'\left(\dfrac{\mathrm{d}\hat{j}'}{\mathrm{d}t}\right)$

$t \to t+\mathrm{d}t$ 时间内：

$\mathrm{d}\hat{i}' = \omega\,\mathrm{d}t\,\hat{j}'$

$\mathrm{d}\hat{j}' = -\omega\,\mathrm{d}t\,\hat{i}'$

$\left(\dfrac{\mathrm{d}\hat{i}'}{\mathrm{d}t}\right)_S = \vec{\omega} \times \hat{i}'$

$\left(\dfrac{\mathrm{d}\hat{j}'}{\mathrm{d}t}\right)_S = \vec{\omega} \times \hat{j}'$

$\Rightarrow \vec{v} = \dot{x}'\hat{i}' + \dot{y}'\hat{j}' + x'(\vec{\omega} \times \hat{i}') + y'(\vec{\omega} \times \hat{j}') = \dot{x}'\hat{i}' + \dot{y}'\hat{j}' + \vec{\omega} \times (x'\hat{i}' + y'\hat{j}')$

$\vec{v} = \vec{v}' + \vec{\omega} \times \vec{r}$（速度变换公式）

$\vec{a} = \left(\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}\right)_S = \left(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right)_S(\dot{x}\hat{i} + \dot{y}\hat{j}) = \ddot{x}\hat{i} + \ddot{y}\hat{j}$

$\vec{a}' = \left(\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}'}{\mathrm{d}t}\right)_{S'} = \left(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right)_{S'}(\dot{x}'\hat{i}' + \dot{y}'\hat{j}') = \ddot{x}'\hat{i}' + \ddot{y}'\hat{j}'$

$\vec{a} = \left(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right)_S(\vec{v}' + \vec{\omega} \times \vec{r}) = \left(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right)_S(\dot{x}'\hat{i}' + \dot{y}'\hat{j}') + \left(\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}}{\mathrm{d}t}\right)_S \times \vec{r} + \vec{\omega} \times \left(\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\right)_S$

$\vec{a} = \ddot{x}'\hat{i}' + \ddot{y}'\hat{j}' + \dot{x}'\left(\dfrac{\mathrm{d}\hat{i}'}{\mathrm{d}t}\right)_S + \dot{y}'\left(\dfrac{\mathrm{d}\hat{j}'}{\mathrm{d}t}\right)_S + \left(\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}}{\mathrm{d}t}\right)_S \times \vec{r} + \vec{\omega} \times \left(\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\right)_S$

$= \vec{a}' + \vec{\omega} \times (\dot{x}'\hat{i}' + \dot{y}'\hat{j}') + \vec{\beta} \times \vec{r} + \vec{\omega} \times \vec{v}$

$= \vec{a}' + \vec{\omega} \times \vec{v}' + \vec{\beta} \times \vec{r} + \vec{\omega} \times \vec{v}$

由 $\vec{v} = \vec{v}' + \vec{\omega} \times \vec{r} \Rightarrow \vec{a} = \vec{a}' + 2\vec{\omega} \times \vec{v}' + \vec{\beta} \times \vec{r} + \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r})$

$\Delta\vec{a} = 2\vec{\omega} \times \vec{v}' + \vec{\beta} \times \vec{r} + \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r})$

$\vec{F} = -m\Delta\vec{a} = 2m\vec{v}' \times \vec{\omega} - m\vec{\beta} \times \vec{r} - m\vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r})$