物理

比奈方程与龙格-楞次矢量

对于有兴趣天体物理的同学们可以学习一下，当作拓展了

$\huge{Part1.比奈方程}$

在中心力场中，物体受到的力只与距离 $r$ 有关，方向指向或背离力心。通常我们使用极坐标 $(r, \theta)$ 来描述运动。

牛顿第二定律在径向的分量为：

$m(\ddot{r} - r\dot{\theta}^2) = F(r)$

非二阶齐次微分方程，正常是不太好解的，于是考虑换元

令 $u = \frac{1}{r}$，比奈方程的形式为：

$\frac{d^2 u}{d\theta^2} + u = -\frac{m}{L^2 u^2} F\left(\frac{1}{u}\right)$

代入题目条件后，方程通常变为常系数非齐次线性微分方程：

$\frac{d^2 u}{d\theta^2} + u = C$

其中 $C$ 是常数。此时方程可解，有：

齐次通解：$u_h = A \cos(\theta - \theta_0)$

特解：$u_p = C$

全解：$u(\theta) = C + A \cos(\theta - \theta_0)$

根据天体的角动量可以推出比奈方程

设角动量为 $L$（常数），则有：

$L = m r^2 \dot{\theta} \implies \dot{\theta} = \frac{L}{m r^2} = \frac{L u^2}{m}$

计算 $\ddot{r}$ 关于 $u$ 和 $\theta$ 的表达式。

求 $\dot{r}$：

$\dot{r} = \frac{dr}{dt} = \frac{dr}{d\theta} \frac{d\theta}{dt} = \frac{d(1/u)}{d\theta} \dot{\theta} = \left( -\frac{1}{u^2} \frac{du}{d\theta} \right) \left( \frac{L u^2}{m} \right) = -\frac{L}{m} \frac{du}{d\theta}$

求 $\ddot{r}$：

$\ddot{r} = \frac{d\dot{r}}{dt} = \frac{d\dot{r}}{d\theta} \dot{\theta} = \frac{d}{d\theta} \left( -\frac{L}{m} \frac{du}{d\theta} \right) \left( \frac{L u^2}{m} \right) = -\frac{L^2 u^2}{m^2} \frac{d^2 u}{d\theta^2}$

将 $\ddot{r}$ 和 $\dot{\theta}$ 代入径向动力学方程 $m(\ddot{r} - r\dot{\theta}^2) = F(r)$：

$m \left[ -\frac{L^2 u^2}{m^2} \frac{d^2 u}{d\theta^2} - \frac{1}{u} \left( \frac{L u^2}{m} \right)^2 \right] = F(1/u)$

化简括号内各项：

$-\frac{L^2 u^2}{m} \frac{d^2 u}{d\theta^2} - \frac{L^2 u^3}{m} = F(1/u)$

两边同乘 $-\frac{m}{L^2 u^2}$：

$\frac{d^2 u}{d\theta^2} + u = -\frac{m}{L^2 u^2} F\left(\frac{1}{u}\right)$

$\huge{Part2.龙格-楞次矢量}$

这个在舒力第四章角动量和天体运动有一题提到了龙格-楞次矢量，于是各位可以试着做一做

在平方反比力场（如万有引力、库仑力）中，除了能量 $E$ 和角动量 $\vec{L}$ 守恒外，还存在一个特殊的守恒矢量，称为龙格-楞次矢量 $\vec{A}$，指向轨道近拱点（periapsis，即离力心最近的点），其大小与轨道的偏心率 $e$ 成正比。

矢量形式为：$\vec{A} = \vec{p} \times \vec{L} - m k \hat{r}$，其中 $\vec{p}$ 是动量，$\vec{L}$ 是角动量

如何证明 $\vec{A}$ 是守恒量，即证明其对时间的导数为零。

$\frac{d\vec{A}}{dt} = \frac{d}{dt} (\vec{p} \times \vec{L}) - mk \frac{d\hat{r}}{dt}$

由于 $\vec{L}$ 守恒（中心力场性质），$\frac{d\vec{L}}{dt} = 0$，且 $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$。

第一项展开：

$\frac{d}{dt} (\vec{p} \times \vec{L}) = \dot{\vec{p}} \times \vec{L} + \vec{p} \times \dot{\vec{L}} = \vec{F} \times \vec{L}$

代入 $\vec{F} = -\frac{k}{r^2} \hat{r}$ 和 $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$：

$\vec{F} \times \vec{L} = \left( -\frac{k}{r^2} \hat{r} \right) \times (\vec{r} \times \vec{p})$

利用矢量三重积公式 $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$：

令 $\vec{a} = -\frac{k}{r^2} \hat{r}$，$\vec{b} = \vec{r} = r \hat{r}$，$\vec{c} = \vec{p}$。

$\vec{F} \times \vec{L} = -\frac{k}{r^2} [ (\hat{r} \cdot \vec{p}) \vec{r} - (\hat{r} \cdot \vec{r}) \vec{p} ]$

注意 $\hat{r} \cdot \vec{r} = r$，$\hat{r} \cdot \vec{p} = p_r$（径向动量）。

$\vec{F} \times \vec{L} = -\frac{k}{r^2} [ p_r (r \hat{r}) - r \vec{p} ] = -\frac{k}{r} p_r \hat{r} + \frac{k}{r} \vec{p}$

第二项 $-mk \frac{d\hat{r}}{dt}$：

已知 $\hat{r} = \frac{\vec{r}}{r}$，求导：

$\frac{d\hat{r}}{dt} = \frac{\dot{\vec{r}} r - \vec{r} \dot{r}}{r^2} = \frac{\vec{v}}{r} - \frac{\vec{r} v_r}{r^2} = \frac{\vec{p}/m}{r} - \frac{\vec{r} (p_r/m)}{r^2} = \frac{1}{mr} \vec{p} - \frac{p_r}{mr^2} \vec{r}$

所以：

$-mk \frac{d\hat{r}}{dt} = -mk \left( \frac{\vec{p}}{mr} - \frac{p_r \vec{r}}{mr^2} \right) = -\frac{k}{r} \vec{p} + \frac{k p_r}{r^2} \vec{r} = -\frac{k}{r} \vec{p} + \frac{k p_r}{r} \hat{r}$

相加：

$\frac{d\vec{A}}{dt} = \left( -\frac{k}{r} p_r \hat{r} + \frac{k}{r} \vec{p} \right) + \left( -\frac{k}{r} \vec{p} + \frac{k p_r}{r} \hat{r} \right) = 0$

$\vec{A}$ 是守恒矢量，证毕。

通过计算 $\vec{A} \cdot \vec{r}$，可以导出轨道方程：

$\vec{A} \cdot \vec{r} = (\vec{p} \times \vec{L}) \cdot \vec{r} - mk r = \vec{L} \cdot (\vec{r} \times \vec{p}) - mk r = L^2 - mk r$

另一方面，设 $\vec{A}$ 与 $\vec{r}$ 夹角为 $\theta$，则 $\vec{A} \cdot \vec{r} = A r \cos \theta$。

$A r \cos \theta = L^2 - mk r \implies r = \frac{L^2/mk}{1 + (A/mk) \cos \theta}$

龙格-楞次矢量也直接决定了轨道的偏心率。

(完结)