物理

光波在分层媒质中的传播和介质膜理论

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光波在分层媒质中的传播和介质膜理论

如果一个介质的光学性质在与某一固定方向相垂直的各个平面上到处一样，就称其为分层介质。分层介质理论在光学上相当重要，在各种半导体光电器件和光学元件中具有广泛的应用。这种薄膜可借助高真空蒸发技术来制备，而且它们的厚度可以控制得非常准确。

分层均匀的介质膜对光的反射和透射过程，$s$ 和 $p$ 光彼此独立，所以把入射光分解成 $s$ 和 $p$ 两线偏振光的叠加。我们分别研究 $s$ 和 $p$ 光在分层均匀的介质膜中传播性质。

1、$s$ 线偏振光的反射和透射

设将笛卡儿参考系的 $z$ 轴取在这个特别方向，则：$\varepsilon = \varepsilon(z)$、$\mu = \mu(z)$。取入射面为 $yz$ 平面，对于 $s$ 光：$E_y = E_z = 0$、$H_x = 0$。对于定态波：$E \sim e^{-i\omega t}$，于是：$\frac{\partial}{\partial t} = -i\omega$。设介质为绝缘介质，并无净电荷。将这些条件代入麦克斯韦方程组得：

$\frac{\partial^2 E_x}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} + n^2 k_0^2 E_x = \frac{d(\ln \mu)}{dz} \frac{\partial E_x}{\partial z}$

其中：$n^2 = \varepsilon \mu$；$k_0 = \omega / c$。

采用分离变量法求解，设解的形式为：$E_x(y, z) = Y(y)U(z)$，代入上式，得：

$\frac{1}{Y} \frac{d^2 Y}{dy^2} = -\frac{1}{U} \frac{d^2 U}{dz^2} - n^2 k_0^2 + \frac{d(\ln \mu)}{dz} \frac{1}{U} \frac{dU}{dz}$

上式等号的左边只是 $y$ 的函数，右边只是 $z$ 的函数，所以：

$

\begin{cases}

\displaystyle \frac{1}{Y} \frac{d^2 Y}{dy^2} = -K^2 \[10pt]

\(\displaystyle -\frac{1}{U} \frac{d^2 U}{dz^2} - n^2 k_0^2 + \frac{d(\ln \mu)}{dz} \frac{1}{U} \frac{dU}{dz} = -K^2\)

\end{cases}

$

$K$ 是一个常数，不妨令：$K^2 = k_0^2 a^2$，于是上式的第一个方程写为：

$\frac{1}{Y} \frac{d^2 Y}{dy^2} = -k_0^2 a^2$

解得：

$Y = C \cdot e^{ik_0 ay}$

于是：

$E_x = U(z) e^{i(k_0 ay - \omega t)}$

根据定态波的麦克斯韦方程组，有：

$\frac{\partial E_x}{\partial z} = i\omega \mu_0 H_y \quad , \quad \frac{\partial E_x}{\partial y} = -i\omega \mu_0 H_z \quad 和 \quad \frac{\partial H_y}{\partial y} - \frac{\partial H_z}{\partial z} + i\omega \varepsilon \varepsilon_0 E_x = 0$

将 $E_x = U(z) e^{i(k_0 ay - \omega t)}$ 式代入上面的定态波的麦克斯韦方程，得：

$\begin{cases}

H_y = V(z) e^{i(k_0 ay - \omega t)} \\

H_z = W(z) e^{i(k_0 ay - \omega t)}

\end{cases}$

其中 $U(z)$、$V(z)$ 和 $W(z)$ 之间的关系为：

$U' = i c k_0 \mu_0 V \quad 、 \quad V' = i k_0 (aW + c \varepsilon \varepsilon_0 U) \quad 和 \quad aU + c \mu \mu_0 W = 0$

其中 $U'$ 和 $V'$ 表示 $U$ 和 $V$ 对 $z$ 的一阶导数。从中消去 $W$，得到 $U$、$V$ 的方程：

$\begin{cases}

\displaystyle U' = i c k_0 \mu_0 V \[10pt]

\(\displaystyle V' = i k_0 \left( c \varepsilon \varepsilon_0 - \frac{a^2}{c \mu \mu_0} \right) U\)

\end{cases}$

将上式的第一个方程两边对 $z$ 求导，然后将第二个方程代入，消去 $V$ 和 $V'$；第二个方程两边对 $z$ 求导，然后将第一个方程代入，消去 $U$ 和 $U'$，注意 $\mu$ 和 $\varepsilon$ 是 $z$ 的函数，于是上式化为：

$\begin{cases}

\displaystyle \frac{d^2 U}{dz^2} - \frac{d(\ln \mu)}{dz} \frac{dU}{dz} + k_0^2 (n^2 - a^2) U = 0 \[10pt]

\(\displaystyle \frac{d^2 V}{dz^2} - \left[ \frac{d \ln \varepsilon - \frac{a^2}{\mu}}{dz} \right] \frac{dV}{dz} + k_0^2 (n^2 - a^2) V = 0\)

\end{cases}$

它们是 $U$ 和 $V$ 的二阶线性齐次微分方程，方程的通解可以表示成两个线性无关特解。如 $U_1$、$U_2$ 和 $V_1$、$V_2$ 的线性组合。将特解代入 $U$、$V$ 的方程，得：

$\begin{cases}

U_1' = i c k_0 \mu_0 V_1 \\

\(V_1' = i k_0 \left( c \varepsilon \varepsilon_0 - \frac{a^2}{c \mu \mu_0} \right) U_1\)

\end{cases}

\quad 、 \quad

\begin{cases}

U_2' = i c k_0 \mu_0 V_2 \\

\(V_2' = i k_0 \left( c \varepsilon \varepsilon_0 - \frac{a^2}{c \mu \mu_0} \right) U_2\)

\end{cases}$

得：

$U_1' V_2 - V_1 U_2' = 0 \quad 、 \quad U_1 V_2' - V_1' U_2 = 0$

即：