物理

趣题分享1

题目来源：李炯生、查建国、王新茂《线性代数》1.3 例3

求一对多项式 $u(x), v(x)$ ，使得 $x^mu(x)+(1-x)^nv(x)\equiv1$ ，这里 $m, n$ 均为正整数。

显然 $\gcd(x^m,(1-x)^n)=1$ ，由Bezout定理，这样的多项式是存在的。大多数时候，我们使用辗转相除法求Bezout等式中的 $u(x)$ 和 $v(x)$ ，然而在这题，辗转相除显然是难以进行的。因此，只能另辟蹊径。教材中给出了这样的解法：

解：由于 $\gcd(x^m,(1-x)^n)=1$ ，由Bezout等式，该方程有解，

且存在一组特解使得 $\deg u\lt n$ ， $\deg v\lt m$ 。我们现在来求这组特解。

注意到当 $x\neq 0$ 时， $u(x)=x^{-m}(1-(1-x)^nv(x))$ ， $u(x)-x^{-m}=-x^{-m}(1-x)^nv(x)$ ，

当 $x\to 1$ 时， $u(x)-x^{-m}=o((1-x)^{n-1})$ ，令 $p(x)=x^{-m}$ ，则对任意 $0\le i\le n-1$ 且 $i\in \N^*$ ，均有 $u^{(i)}(1)=p^{(i)}(1)$ 。

显然 $p^{(i)}(1)=(-1)^im(m+1)\cdots(m+i-1)=(-1)^iA_{m+i-1}^i$ ，从而 $u^{(i)}(1)=(-1)^iA_{m+i-1}^i$ 。

由Taylor展开，有 $u(x)=\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}\frac{(x-1)^i}{i!}u^{(i)}(1)=\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}C_{m+i-1}^i(1-x)^i$ 。

类似地可得 $v(x)=\displaystyle\sum_{i=0}^{m-1}C_{n+i-1}^ix^i$ 。从而我们得到了方程的一组特解。