磁选机模型与顺磁性材料

为了分离具有不同磁性质的材料，可以使用磁选法。例如，钛矿床中含有锆石 $ZrSiO_4$、独居石 $[Ce,La,Th]PO_4$、钛铁矿 $FeTiO_3$、金红石 $TiO_2$ 等矿物。其中，含钛矿物具有重要经济价值。金红石和钛铁矿可用于生产无毒颜料，这些颜料广泛用于油墨、塑料、陶瓷等材料中。因此，需要将金红石和钛铁矿从钛矿石中分离出来。磁选法利用磁力来分离具有磁性的材料。

磁选机的工作原理如图 1 所示。

图 1 中各部分为：

• $(1)$ 料箱；
• $(2)$ 非磁性滚轮 $L_1$；
• $(3)$ 磁性滚轮 $L_2$；
• $(4)$ 传送带；
• $(5)$ 磁性颗粒；
• $(6)$ 收集槽。

磁选机的主体由两个滚轮 $L_1$ 和 $L_2$ 以及传送带组成。两个滚轮的直径均为 $D$。传送带厚度相对于滚轮半径可以忽略。滚轮 $L_1$ 是非磁性的，滚轮 $L_2$ 是磁性的。磁性滚轮周围的磁感应强度大小随距离变化为 $B(r)=|\vec B|=B_0e^{-r/a}$。

其中，$r$ 是从磁性滚轮表面沿径向向外量得的距离，$a$ 是常数。磁性滚轮以角速度 $\omega$ 转动，该角速度由电动机维持。矿物颗粒从料箱落到传送带上，并随传送带运动到磁性滚轮处。传送带与磁性滚轮之间的摩擦足够大，可以防止二者之间发生相对滑动。

以下数学公式可能有用：

$\coth x=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}$。

当 $x\to\infty$ 时，$\coth x\approx 1+2e^{-2x}$。

当 $x\to 0$ 时，$\coth x\approx \frac1x+\frac{x}{3}-\frac{x^3}{45}$。

指数函数展开式为 $e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\approx 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$。

在本题中，我们将讨论该磁选机的一个模型，只考虑磁力和重力的作用。

A 部分：材料的磁化率

研究顺磁性材料的性质。

考虑一种矿物，它由某种磁性原子 $X$ 组成。单位体积内这种原子的数密度为 $n$，每个原子具有磁矩 $\vec p$。原子浓度较低，因此可以忽略不同原子磁矩之间的相互作用。

在没有外加磁场时，原子磁矩方向随机分布，因此材料的总磁化强度为零。磁化强度定义为单位体积材料的磁矩。

在外加磁场 $\vec B$ 中，原子磁矩倾向于沿外磁场方向排列，因此材料获得非零的磁化强度。

根据量子力学，原子磁矩在磁场方向上的投影可以写为 $p_z=g_j\mu_B m$。

其中，$z$ 轴取为沿外磁场方向。$m$ 可以取如下离散值：$m=j,\ j-1,\ j-2,\ \cdots,\ -j$。

这里，$j$ 是表征原子 $X$ 的非负整数或半整数，$\mu_B=0.93\times 10^{-23}\ \mathrm{A\cdot m^2}$ 是玻尔磁子，$g_j$ 是朗德因子。

磁矩投影取值为 $p_z$ 的概率为 $W(p_z)=Ae^{-U_B/kT}$。

其中，$A$ 是归一化常数，$U_B$ 是磁矩在磁场中的能量，$T$ 是温度，$k$ 是玻尔兹曼常数。可以证明，磁矩在 $x$ 轴和 $y$ 轴方向上的平均投影均为零。

A1

求处于磁场 $\vec B$ 中、温度为 $T$ 时，原子 $X$ 的磁矩在 $z$ 轴方向上的平均投影 $\langle p_z\rangle$。答案应表示为参数 $\alpha=\frac{g_j\mu_BB}{kT}$ 的函数。

A2

写出 $\langle p_z\rangle$ 在极限 $\alpha\to 0$ 下的表达式，即磁能远小于热能的情形。还需讨论 $\alpha\to\infty$ 的情形，并画出 $\langle p_z\rangle$ 随参数 $\alpha$ 变化的示意图。

磁化率 $\chi$ 用来表征材料的磁性质。在弱磁场中，磁化率定义为 $\chi=\frac{\mu_0M}{B}$。

其中，$M$ 为磁化强度，$\mu_0$ 为真空磁导率。设外磁场足够弱，即参数满足 $\alpha\ll 1$。

A3

求磁化率 $\chi$。答案应表示为原子数密度 $n$、温度 $T$、朗德因子 $g_j$、参数 $j$ 以及基本常数的函数。

B 部分：磁选机

现在研究前面描述的磁选机模型。

磁感应强度 $B$ 随点到磁性滚轮表面沿径向距离 $r$ 的变化关系如下表所示：

B1

利用上表数据，根据 $B(r)=B_0e^{-r/a}$ 确定参数 $B_0$ 和 $a$ 的数值。写出你用于确定它们的公式。

此后计算中使用如下参数：

$D=0.04\ \mathrm{m}$，

$R_0=0.5\times 10^{-3}\ \mathrm{m}$，

$a=3.0\times 10^{-3}\ \mathrm{m}$，

$B_0=1.0\ \mathrm{T}$，

$d=1.0\ \mathrm{m}$，

$\omega_0=2\pi\cdot 240\ \mathrm{min^{-1}}$，

$\rho_1=5.0\times 10^3\ \mathrm{kg/m^3}$，

$\rho_2=4.3\times 10^3\ \mathrm{kg/m^3}$，

$\chi_1=6.3\times 10^{-4}$，

$\chi_2=6.5\times 10^{-5}$，

$\Delta=0.2\ \mathrm{m}$。

考虑一种顺磁性矿物颗粒，其平均磁化率为 $\chi_1$，密度为 $\rho_1$。设这些颗粒均为球形。还假设颗粒置于磁性滚轮磁场中时，其磁矩可以认为集中在颗粒中心。

颗粒半径为 $R_0$。收集槽位于磁性滚轮下方，与滚轮相距 $d$，如图 1 所示。滚轮角速度为 $\omega_0$。

忽略颗粒之间磁矩的相互作用。颗粒离开滚轮后，作用在颗粒上的磁力也可以忽略。

当磁感应强度发生微小变化 $d\vec B$ 时，颗粒能量的变化为 $dE=-\vec P\cdot d\vec B$，其中，$\vec P$ 是颗粒的磁矩。

B2

求颗粒在磁场 $\vec B$ 中的能量。答案应表示为磁感应强度大小 $B$、颗粒材料的磁化率 $\chi_1$ 以及颗粒体积 $V$ 的函数。

B3

求收集该矿物颗粒的收集槽位置 $x$ 的表达式，并求出 $x$ 的数值。

设矿物颗粒为半径不同的球形颗粒。颗粒半径相对平均半径的偏差不超过 $10\%$，即 $\left|\frac{R_0-R}{R_0}\right|\leq 0.1$。

其中，$R$ 是某个具体颗粒的半径，$R_0$ 是所有颗粒的平均半径。滚轮角速度仍为 $\omega_0$。

B4

求在收集槽附近，沿 $x$ 方向颗粒束宽度 $\Delta_0$ 的表达式和数值。

现在考虑由两种不同矿物颗粒组成的混合物。两种颗粒的磁化率分别为 $\chi_1$ 和 $\chi_2$，密度分别为 $\rho_1$ 和 $\rho_2$。设两种矿物颗粒的平均半径均为 $R_0$。

B5

求磁性滚轮角速度 $\omega$ 的表达式，使得可以分别收集两种颗粒。求出 $\omega$ 的数值。设两个收集槽的宽度均为 $\Delta$。