解析

由题给泄流方程 $V\frac{d\eta}{dt}=-\frac14\eta A\langle v\rangle$，且 $\langle v\rangle=\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}$，代入得：

$V\frac{d\eta}{dt}=-\frac14\eta A\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}$。

注意 $\frac14\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}=\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}$，因此

$V\frac{d\eta}{dt}=-\eta A\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}$。

整理为

$\frac{1}{\eta}\frac{d\eta}{dt}=-\frac{A}{V}\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}$。

两边对时间积分，从 $t=0$ 到 $t$，从 $\eta_0$ 到 $\eta$，有

$\int_{\eta_0}^{\eta}\frac{1}{\eta}\,d\eta=-\int_0^t\frac{A}{V}\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}\,dt$。

左边为 $\ln\frac{\eta}{\eta_0}$，右边为 $-\frac{A}{V}\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}t$，所以

$\ln\frac{\eta}{\eta_0}=-\frac{A}{V}\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}t$。

因此容器内气体数密度随时间变化为

$\eta(t)=\eta_0 e^{-\frac{A}{V}\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}t}$。

下面计算外界需要提供的功率。

容器内气体内能为 $U=\frac32\eta VkT$。由于 $V$ 和 $T$ 都保持不变，所以

$\frac{dU}{dt}=\frac32VkT\frac{d\eta}{dt}$。

由泄流方程 $\frac{d\eta}{dt}=-\frac{A}{V}\eta\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}$，得到

$\frac{dU}{dt}=-\frac32\eta AkT\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}$。

这表示由于容器内分子数减少，容器内气体总内能正在降低。

题目给出逸出分子带走的能量速率为

$\frac{dE}{dt}=-\eta A\sqrt{\frac{2k^3T^3}{m\pi}}$。

这里 $\frac{dE}{dt}<0$ 表示能量被逸出分子带走，容器内气体损失能量。

能量平衡关系为

$\frac{dU}{dt}=P+\frac{dE}{dt}$。

其中 $P$ 是外界向容器供热的功率。因此

$P=\frac{dU}{dt}-\frac{dE}{dt}$。

代入上面的两个表达式：

$P=-\frac32\eta AkT\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}+\eta A\sqrt{\frac{2k^3T^3}{m\pi}}$。

把第二项改写为

$\eta A\sqrt{\frac{2k^3T^3}{m\pi}}=2\eta AkT\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}$。

所以

$P=\left(2-\frac32\right)\eta AkT\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}$。

因此

$P=\frac12\eta AkT\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}$。

整理得

$P=\eta A\sqrt{\frac{k^3T^3}{8\pi m}}$。

再代入 $\eta(t)=\eta_0 e^{-\frac{A}{V}\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}t}$，得到外界供热功率随时间的变化规律：

$P(t)=A\sqrt{\frac{k^3T^3}{8\pi m}}\eta_0 e^{-\frac{A}{V}\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}t}$。

所以答案为：

$\eta(t)=\eta_0 e^{-\frac{A}{V}\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}t}$。

$P(t)=A\sqrt{\frac{k^3T^3}{8\pi m}}\eta_0 e^{-\frac{A}{V}\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}t}$。

也可以从物理图像理解这个结果。普通容器内单个分子的平均能量为 $\frac32kT$，但能从小孔逸出的分子更偏向于速度较大的分子，其平均带走能量为 $2kT$。因此每逸出一个分子，容器内不仅少了一个分子的平均内能 $\frac32kT$，还额外损失了 $2kT-\frac32kT=\frac12kT$ 的能量。为了保持温度不变，外界必须补充这部分能量。逸出分子数率为 $A\eta\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}$，所以外界供热功率为 $P=A\eta\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}\cdot\frac12kT=\eta A\sqrt{\frac{k^3T^3}{8\pi m}}$。