翻转的网球拍：自由刚体的中间轴不稳定性

在失重环境中，一个不受外力矩作用的刚体绕其质心自由转动。刚体具有三个互不相等的主转动惯量，满足

$$I_1<I_2<I_3.$$

在随刚体一起转动的主轴坐标系中，以

$$\boldsymbol{\omega}=\omega_1\boldsymbol{e}_1+\omega_2\boldsymbol{e}_2+\omega_3\boldsymbol{e}_3$$

表示刚体的角速度。

忽略空气阻力及重力产生的关于质心的外力矩。

1. 长方体的主转动惯量

一个质量为 $M$ 的均匀长方体，三个边长满足

$$a>b>c.$$

取主轴 $\boldsymbol{e}_1$、$\boldsymbol{e}_2$、$\boldsymbol{e}_3$ 分别平行于长度为 $a$、$b$、$c$ 的三条边。

求长方体关于三个主轴的转动惯量 $I_1$、$I_2$、$I_3$。
验证其大小关系为 $I_1<I_2<I_3$，并指出哪一条轴是所谓的“中间轴”。

2. 自由刚体的欧拉方程

设角动量在刚体主轴系中的分量为

$$L_i=I_i\omega_i,\qquad i=1,2,3.$$

任意矢量 $\boldsymbol{A}$ 在惯性系和随体转动系中的时间导数满足

$$\left(\frac{d\vec{A}}{dt}\right)_I=\left(\frac{d\vec{A}}{dt}\right)_B+\vec{\omega}\times\vec{A}$$

利用无外力矩条件

$$\left(\frac{\mathrm d\boldsymbol{L}}{\mathrm dt}\right)_{\mathrm{inertial}}=0,$$

完成下列任务：

推导自由刚体的欧拉方程

$$I_1\dot{\omega}_1=(I_2-I_3)\omega_2\omega_3,$$

$$I_2\dot{\omega}_2=(I_3-I_1)\omega_3\omega_1,$$

$$I_3\dot{\omega}_3=(I_1-I_2)\omega_1\omega_2.$$

证明刚体的转动动能

$$E=\frac{1}{2}\left(I_1\omega_1^2+I_2\omega_2^2+I_3\omega_3^2\right)$$

保持不变。

证明角动量大小的平方

$$L^2=I_1^2\omega_1^2+I_2^2\omega_2^2+I_3^2\omega_3^2$$

保持不变。

3. 三个主轴转动的稳定性

刚体最初几乎绕某一条主轴以角速度 $\Omega$ 转动，但在另外两个主轴方向上存在很小的角速度扰动。

分别研究刚体绕 $\boldsymbol{e}_1$、$\boldsymbol{e}_2$、$\boldsymbol{e}_3$ 转动时的线性稳定性。
证明绕最小主转动惯量轴 $\boldsymbol{e}_1$ 和最大主转动惯量轴 $\boldsymbol{e}_3$ 的转动是稳定的，而绕中间轴 $\boldsymbol{e}_2$ 的转动是不稳定的。
对于近似绕中间轴的转动，设

$$\omega_2\simeq\Omega,\qquad|\omega_1|,|\omega_3|\ll \Omega.$$

求小扰动随时间指数增长的增长率 $\lambda$，并将其表示为 $I_1$、$I_2$、$I_3$ 和 $\Omega$ 的函数。

4. 怎样的长方体最容易翻转

对于第 1 问中的均匀长方体，定义无量纲不稳定程度

$$\Gamma=\frac{\lambda}{\Omega}.$$

保持最长边 $a$ 和最短边 $c$ 不变，只允许改变中间边长 $b$。

将 $\Gamma$ 表示为 $a$、$b$、$c$ 的函数。
求使中间轴转动最不稳定的边长 $b$。
求 $\Gamma$ 的最大值。
说明最优条件下三条边 $a$、$b$、$c$ 之间满足怎样的比例关系。

5. 一次完整的非线性翻转

只考虑满足特殊条件

$$E=\frac{L^2}{2I_2}$$

的自由转动。该条件对应于连接两个不稳定中间轴转动状态的分离轨道。

设在 $t\to-\infty$ 时，

$$\omega_2\to-\Omega,\qquad\omega_1\to0,\qquad\omega_3\to0,$$

其中 $\Omega>0$。

证明欧拉方程存在如下形式的解：

$$\omega_1(t)=A\,\operatorname{sech}(\lambda t),$$

$$\omega_2(t)=\Omega\tanh(\lambda t),$$

$$\omega_3(t)=C\,\operatorname{sech}(\lambda t).$$