物理

2026IMO

我把第一题瞪出来了💦(排版太花时间了😇😇😇)

(1) 

$定义黑板上所有整数的乘积为P$

$某次操作选取的两个数为m, n，则替换后的数为g = \gcd(m, n)和k = \frac{\text{lcm}(m, n)}{g}$

$则g \cdot k = \gcd(m, n) \cdot \frac{\text{lcm}(m, n)}{\gcd(m, n)} = \text{lcm}(m, n)$

$因为\text{lcm}(m, n) = \frac{mn}{\gcd(m, n)}，m,n 均\gt 1$

$则新积严格小于旧积$

$若操作后两个数均为1，则操作前两个数也需均为1，矛盾$

$由于操作有下界，则该操作是有限的$

$因此当无法操作时，意味着找不到两个大于 1 的数，即大于 1 的数至多 1 个$

(2) 

$插入引理：\gcd(\min(\alpha, \beta), |\alpha - \beta |)= \gcd(\alpha, \beta)$

$证明：$

$不妨设\alpha\geq\beta\geq 0$

$则有\min(\alpha, \beta) = \beta, \quad |\alpha - \beta| = \alpha - \beta $

$待证等式化为：$

$\gcd(\beta, \alpha - \beta) = \gcd(\alpha, \beta)$

$①证明左边整除右边$

$设d = \gcd(\beta, \alpha - \beta)$

$则d \mid \beta且d \mid (\alpha - \beta)$

$因此d \mid [(\alpha - \beta) + \beta] \implies d \mid \alpha$

$所以\gcd(\beta, \alpha - \beta) \leq \gcd(\alpha, \beta)$

$②证明右边整除左边$

$设g = \gcd(\alpha, \beta)$

$则g \mid \alpha且g \mid \beta $

$可得g \mid (\alpha - \beta)$

$所以\gcd(\alpha, \beta) \leq \gcd(\beta, \alpha - \beta)$

$引理得证$

$回到原题：$

$对于任意质数p，考察黑板上所有数中p的指数构成的集合E = \{v_p(a_1), v_p(a_2), \cdots, v_p(a_{2026}) \}$

$一次操作选取(m, n)，对应指数 (\alpha, \beta)$

$新数的指数为 \min(\alpha, \beta) 和|\alpha - \beta | $

$由引理得，\gcd(\min(\alpha, \beta), |\alpha - \beta |)= \gcd(\alpha, \beta)$

$因此整个集合E中所有元素的最大公约数\gcd(E)在操作下保持不变$

$而当操作终止时，集合中恰有一个正整数 v_p(M)，其余均为 0$

$此时集合的 gcd 为\gcd(v_p(M), 0, \cdots ，0)=v_p(M)$

$所以M值恒为\gcd(v_p(a_1)，v_p(a_2)，\cdots ，v_p(a_(2026)))，与操作过程无关$

证毕！