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2026IMO

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2026七月

第 1 题. 黑板上写有 2026 个大于 1 的整数，允许有相同的数。在一次操作中，孔夫子选取黑板上两个不同位置的整数 $m \gt 1$ 和 $n \gt 1$，并将这两个整数替换成

$\gcd(m, n) \quad \text{和} \quad \frac{\operatorname{lcm}(m, n)}{\gcd(m, n)}.$

只要能够进行这样的操作他便继续操作。

(1) 证明：不论孔夫子如何选择，在有限次操作后，黑板上恰有一个大于 1 的整数，记此数为 $M$。

(2) 证明：整数 M 的值不依赖于孔夫子的选择。

（注：$\gcd(x, y)$ 表示正整数 $x$ 和 $y$ 的最大公约数，$\operatorname{lcm}(x, y)$ 表示 $x$ 和 $y$ 的最小公倍数。）

第 2 题. 在三角形 $ABC$ 中，点 $M$ 和 $N$ 分别是边 $AB$ 和 $AC$ 的中点。在三角形 $BMC$ 和三角形 $BNC$ 的内部分别选取点 $K$ 和 $L$，使得点 $K$ 在三角形 $ABL$ 的内部，点 $L$ 在三角形 $AKC$ 的内部。已知

$\angle KBA = \angle ACL, \quad \angle LBK = \angle LNC, \quad \text{且} \quad \angle LCK = \angle BMK.$

设 $O$ 是三角形 $AKL$ 的外心。证明：$OM = ON$。

第 3 题. 设n是正整数。刘邦和项羽有一根长度为 1 的细棍。他们按下述方式进行分配。刘邦先在细棍上标记不超过 n个点，接着项羽再标记不超过 n 个点。标记的点是互不相同的。随后在所有标记点处将细棍切开，这样细棍被分成了若干个小段。在此之后，他们轮流选取一个未被选取的小段，由刘邦先选，直至全部选完。每个人的目标均是使得自己选取的小段的总长度尽可能大。对每个 n，求最大的 c，使得无论项羽如何操作，刘邦总能确保自己选取的小段的总长度不小于 c。

第4题

单于和木兰正在玩一个游戏。设 $\theta$ 是一个满足 $0^\circ \lt \theta \lt 180^\circ$ 的角，且两名玩家都知道这个角。一开始，单于用他自己选择的尺寸制作一个纸三角形 T。然后，他们反复执行以下步骤：

-   如果 T 中至少有一个角的大小恰好等于 $\theta$，那么游戏停止，木兰获胜。

-   否则，木兰在 T 的边界上选择一个不同于三个顶点的点 P。然后她从 P 向 T 的对顶点作一条直线切割，将 T 分成两个三角形。

-   单于丢弃其中一个三角形，剩下的三角形成为新的 T。

对于哪些实数值 $\theta$，无论单于如何操作，木兰都能在有限步内保证自己获胜？

第5题

设 $\mathbb{R}_{\gt0}$ 表示正实数集合。求所有函数 $f: \mathbb{R}_{\gt0} \to \mathbb{R}_{\gt0}$，使得对任意 $x, y \in \mathbb{R}_{\gt0}$，都有

$ \sqrt{\frac{x^2 + f(y)^2}{2}} \ge \frac{f(x) + y}{2} \ge \sqrt{x f(y)} $成立。

第6题

设 $a_1, a_2, a_3, \dots$ 是一个各项均为大于 1 的正整数的无穷数列。假设对所有正整数n，数 $a_{n+1}$ 是满足 $a_{n+1} \gt a_n$ 且对所有 $i = 1, 2, \dots, n$ 都有 $\gcd(a_{n+1}, a_i) \gt1$ 的最小正整数。证明：存在正整数 T 和 L，使得对所有正整数 n 都有

$ a_{n+T} = a_n + L. $

（注：$\gcd(x, y)$ 表示正整数 x与 y的最大公约数。）