物理

1.2自然坐标系与质点系

1.2.1自然坐标系

根据上一节所学习的三种坐标系，我们知道了质点在规则运动状态下如何用坐标去表示，那么如果质点的轨迹混乱，无规律可以寻找，则使用以上的坐标系需要非常多的方程和计算，为了简化我们的计算，引入自然坐标系的概念。

自然坐标系又称本性坐标系，就是按照质点的运动轨迹来建立的坐标系，以此对复杂的运动进行表示和计算。

此时引入表示质点位置的两个单位向量：

切向单位矢量$\vec{\tau}$：指向质点运动速度方向（即轨迹切线方向）。

法向单位矢量 $\vec{n}$：指向轨迹曲线的凹侧（即曲率中心方向），且切向矢量垂直于法向矢量。

根据两个矢量，定义质点的速度表达式：

速度矢量 $\vec{v}$始终沿着轨迹的切线方向。

$\vec{v}$ = $\frac{d\vec{r}}{dt}$ = $\frac{ds}{dt} \vec{\tau}$ = $v \vec{\tau}$

其中：

$v = \frac{ds}{dt}$ 是速率（速度的大小）。

$\vec{\tau}$ 是切向单位矢量。

加速度矢量 $\vec{a}$ 是速度对时间的导数。由于 $\vec{\tau}$ 的方向随时间变化，求导时需应用链式法则。

$\vec{a}$ = $\frac{d\vec{v}}{dt}$ = $\frac{d(v \vec{\tau})}{dt}$ = $\frac{dv}{dt} \vec{\tau} + v \frac{d\vec{\tau}}{dt}$

根据微分几何知识，切向单位矢量的变化率与法向单位矢量及曲率半径有关：

$\frac{d\vec{\tau}}{dt}$ = $\frac{d\vec{\tau}}{ds} \frac{ds}{dt}$ = $\left( \frac{1}{\rho} \vec{n} \right) v$ = $\frac{v}{\rho} \vec{n}$

其中 $\rho$ 为曲率半径。

代入加速度公式，得到自然坐标系下的加速度表达式：

$\vec{a} = \frac{dv}{dt} \vec{\tau} + \frac{v^2}{\rho} \vec{n}$

加速度可以分解为两个分量：

切向加速度 $a_\tau = \frac{dv}{dt}$：速度大小的变化率。

法向加速度 $a_n = \frac{v^2}{\rho}$：速度方向的变化率，始终指向曲率中心。

对于平面曲线 $y = y(x)$，曲率半径 $\rho$ 的计算公式为：

$\rho = \frac{\left[ 1 + (y')^2 \right]^{3/2}}{|y''|}$

其中 $y' = \frac{dy}{dx}$，$y'' = \frac{d^2y}{dx^2}$。

如果是参数方程 $x=x(t), y=y(t)$，则：

$\rho = \frac{(\dot{x}^2 + \dot{y}^2)^{3/2}}{|\dot{x}\ddot{y} - \dot{y}\ddot{x}|}$

1.2.2质点系的概念

有的力学体系下，多个质点组合成的整体进行运动，对于整体内部的每一个质点来说，运动规律是一样的，而此时我们不研究整体中的个体，而是研究整体的运动规律，这样的整体就被称为质点系。

1.2.3质点系的质心与质心运动定理

质心的位置矢量 $\vec{r}_C$ 定义为：